Производных второго порядка эллиптического типа

§ 1. Определение эллиптического уравнения. Основные понятия

Эллиптическое уравнение. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка вида

. (1.1)

Это уравнение линейно относительно производных второго порядка. Главную роль в определении типа уравнения играют коэффициенты при старших производных. Будем считать, что аргументы этих функций имеют вид . Коэффициенты, не ограничивая общности, считаем симметричными: . Все функции и независимые переменные мы считаем вещественными.

Определение. Зафиксируем определенную точку в области и составим квадратичную форму

. (1.2)

Уравнение (1.1) принадлежит эллиптическому типу в точке , если в этой точке квадратичная форма (1.2) знакоопределена.

Предположим, что коэффициенты - постоянные величины, тогда уравнение (1.1) имеет вид

, (1.3)

т.е. является линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

В этом случае свойство знакоопределенности квадратичной формы (1.2) сохраняется вне зависимости от выбора точки . Предположим, что квадратичная форма (1.2) знакоопределена, т.е. уравнение (1.3) эллиптическое. При помощи линейного преобразования

(1.4)

ведем новые независимые переменные . Предположим, что преобразование (1.4) неособое, т.е. . Производные по старым переменным выразятся через производные по новым переменным следующим образом:

(1.5)

Подставим представления (1.5) в уравнение (1.3), после чего получим новое уравнение

(1.6)

где

(1.7)

Для того, чтобы понять, как преобразуются коэффициенты при старших производных, заметим, что при преобразовании квадратичной формы с помощью линейного преобразования , приводящего ее к виду , происходит та же замена коэффициентов. В алгебре доказывается (с помощью конструктивного метода выделения полных квадратов), что всегда можно подобрать коэффициенты так, чтобы квадратичная форма приводилась к сумме квадратов, т.е. к виду , причем или 0. Согласно закону инерции число положительных и отрицательных коэффициентов инвариантно относительно выбора линейного преобразования . То же самое линейное преобразование можно использовать для преобразования аргументов в уравнении (1.3) в аргументы и, следовательно, для получения уравнения (1.6), которое с помощью замены координат можно представить в виде

. (1.8)

Этот вид уравнения (1.3) называется каноническим. В силу знакоопределенности для эллиптического уравнения (1.3) квадратичной формы , а, следовательно, и формы , очевидно, что для эллиптического уравнения все равны единице: . Таким образом, сохраняя прежние обозначения, мы можем утверждать, что всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть приведено к виду

В случае, когда уравнение (1.1) имеет переменные коэффициенты, для каждой точки можно указать неособое преобразование независимых переменных, которое приводит уравнение (1.1) к каноническому виду. В случае двух независимых переменных возможно при весьма слабых условиях, налагаемых на коэффициенты при старших производных, привести уравнение с переменными коэффициентами к каноническому виду. Однако, это выходит за рамки нашего курса.

Уравнение Лапласа. К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных, т.е. не меняющихся с течением времени процессов различной физической природы. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа:

; (1.9)

. (1.10)

Уравнению Лапласа удовлетворяют установившаяся в однородном изотропном теле температура, среднее напряжение в твердом деформируемом теле, потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля.

Определение. Функция называется гармонической в ограниченной области , если она в этой области имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Определение. Функция называется гармонической в области , имеющей выходы на бесконечность, если она в этой области имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, удовлетворяет уравнению Лапласа в и равномерно стремится к нулю при стремлении точки в бесконечность (функция при равномерно, если для любого можно указать так, что при .

Замечание. Предполагается, что граница области состоит из конечного числа замкнутых поверхностей.

Лемма 1. Пусть . Функция , где , является гармонической функцией переменной .

Доказательство проведем с помощью непосредственной проверки. Обозначим для удобства . Имеем

Отсюда

Лемма доказана.

Функция называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (10) в .

Замечание. Пусть в уравнении (1.9) . Функция является решением уравнения (1.9) при . Действительно,

;

;

.

Поэтому функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа при .

Задание для самостоятельной работы. Доказать, что функция при является решением уравнения (9) при всех .

§ 2. Формулы Грина

Формула Гаусса-Остроградского (без доказательства). Пусть область без выходов на бесконечность, причем её граница - кусочно-гладкая поверхность. Пусть функции имеют в непрерывные и ограниченные производные первого порядка. Тогда справедлива следующая формула

, (2.1)

где - внешняя нормаль к поверхности .

Вывод формул Грина. Пусть функции принадлежат пространствам и вторые производные функций и ограничены. Положим , . С помощью формулы Гаусса-Остроградского запишем

откуда

. (2.2)

Формула (2.2) называется первой формулой Грина.

Меняя местами и в (2.2), можем записать

.

Вычтем из последней формулы равенство (2.2). Получим вторую формулу Грина.

. (2.3)

Замечание. В случае, когда область ограничена несколькими замкнутыми поверхностями (например, область - кольцо), следует внимательно выбирать направление внешней нормали.

Лемма 2. Если функция , то имеет место формула

, (2.4)

где внешняя нормаль в точке , .

Доказательство. Будем вначале предполагать, что функция . Рассмотрим функцию . Поскольку при , мы не можем применить формулу Грина по всей области . Вырежем из области шар с центром в точке и радиусом настолько малым, что . Обозначим через оставшуюся часть : , а через - поверхность шара ( ). В области к функциям и можно применить вторую формулу Грина. Так как по лемме 1 функция гармоническая в , имеем

. (2.5)

Устремим радиус шара к нулю. Тогда слева в (2.5) получим интеграл по всей области . Интеграл от не зависит. Покажем, что

. (2.6)

Так как на поверхности шара справедливо равенство то, принимая во внимание, что нормаль направлена прямо противоположно направлению радиуса шара, будем иметь и, следовательно, по теореме о среднем

, (2.7)

при .

Производные функции ограничены в . Следовательно, существует , такое, что . Тогда

(2.8)

Таким образом, из (2.7) и (2.8) следует (2.6).

Сформулируем некоторые базисные утверждения необходимые для снятия предположения .

Распространение формул Грина. Пусть граница принадлежит классу . В каждой точке отложим по внутренней нормали - отрезок постоянной длины . Множество концов этих отрезков описывается уравнением . Назовем полученную поверхность параллельной .

Утверждение. Нормаль в точке направлена вдоль .

Доказательство. - есть внутренняя огибающая семейства сфер

. (2.9)

Действительно, пусть некоторый кусок поверхности задается уравнением (согласно лемме Гейне-Бореля, поверхность можно разбить на конечное количество кусков, в каждом из которых она задается в указанном виде). Дифференцируем (2.9) по : имеем

Вектор параллелен вектору , следовательно . Таким образом, мы вывели уравнение поверхности Остается отметить, что нормаль к сфере – по радиусу ( см. рис.1)

Определение. Пусть граница области есть поверхность класса и функция . Будем говорить, что функция имеет правильную нормальную производную на , если равномерно по всем существует предел нормальной производной при . Из этого определения следует, что правильная нормальная производная непрерывна на , если она существует (доказательство от противного).

Введем обозначение для правильной нормальной производной .

Лемма 3. Пусть граница области - поверхность класса и функция из класса имеет правильную нормальную производную на . Тогда для любой справедливо равенство

, (2.10)

где - поверхности, параллельные .

Доказательство. Из предыдущего утверждения следует, что нормали и в точках и направлены одинаково, и в силу определения правильной нормальной производной и непрерывности на имеем равномерное стремление

.

Из последнего соотношения вытекает утверждение леммы.

Следствие. Формулы Грина (2.2) и (2.3) остаются справедливыми, если область - не имеет выходов на бесконечность, - поверхность класса , а функции и имеют правильные нормальные производные на . В случае области с выходами на бесконечность, необходимо дополнительно потребовать, чтобы функции .

Поясним утверждение следствия. Для того, чтобы избавиться от предположения о том, что вторые производные функции непрерывны вплоть до границы , заменим область областью , лежащей вместе с границей внутри . Применим вначале формулу (2.6) к области и перейдем к пределу при , после чего получим требуемый результат.

Аналогичные формулы имеют место и для плоскости :

, (2.11)

. (2.12)

§ 3. Основные свойства гармонических функций

Пусть - гармоническая функция в области без выходов на бесконечность с границей . Пусть . Положим в первой формуле Грина (2.2) , примем во внимание гармоничность функции и получим равенство

.

Так как интеграл в правой части последнего равенства неотрицателен, то

. (3.1)

Применяя вторую формулу Грина (2.3) к гармоническим функциям и , получим

, (3.2)

т.е. интеграл от нормальной производной гармонической функции по границе области равен нулю. Применим формулу (2.4) из леммы 2 к гармонической функции . В силу равенства получим

, (3.3)

т.е. значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на границе области с помощью формулы (3.3).

Замечание. Интегралы в формулах (3.1) - (3.3) не содержат производных второго порядка от функции и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция непрерывна вместе со своими производными первого порядка вплоть до границы . Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить область на область , написать формулы (3.1)-(3.3) для области , в которой имеется непрерывность производных второго порядка, а затем перейти к пределу при . Возможность выбора области такой, что при вытекает из возможности построения поверхности , параллельной , что показано ранее.

Утверждение 2. Функция , гармоническая в области имеет производные всех порядков внутри этой области.

Доказательство. Возьмем внутри области произвольную точку . Окружим ее областью с границей , целиком лежащей внутри . Функция будет иметь непрерывные производные второго порядка вплоть до поверхности . Применяя формулу (3.3) в области , получим

. (3.4)

Так как точка не лежит на , то функция является непрерывной и имеет непрерывные производные любого порядка по переменным . Следовательно, правую часть формулы (3.4) можно дифференцировать по переменным сколь угодно раз.

Теорема 1 (о среднем арифметическом). Пусть функция гармонична в шаре и имеет правильную нормальную производную вплоть до границы . Тогда справедливо представление

(3.5)

(Значение функции, гармонической в шаре и непрерывной на его поверхности в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на поверхности этого шара).

Доказательство. Пусть гармонична внутри шара и непрерывна вместе со своими первыми производными , - центр шара. Применим формулу (3.4) к функции в шаре :

при , а направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса: и формула (3.4) принимает вид , откуда, в силу (3.2), имеем равенство (3.5). Теорема доказана.

Теорема 2 (о максимуме и минимуме). Пусть функция является гармонической в области без выходов на бесконечность и непрерывна в . Тогда функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на границе области, за исключением того случая, когда эта функция есть постоянная.

Доказательство. Предположим, что функция достигает своего наибольшего значения в точке . Так как - внутренняя точка области , то существует сфера с центром в и радиусом , такая, что . Применим теорему о среднем к функции в области и оценим правую часть полученного представления сверху:

,

здесь , т.е. . Знак равенства в последней оценке достигается лишь когда функция на постоянна. Поскольку по предположению, наибольшее значение функции в области , а , можно утверждать, что и, следовательно, имеет место равенство , следовательно, функция равна постоянной внутри и на поверхности любой сферы с центром , целиком лежащей в . Покажем, что из этого факта следует, что функция равна постоянной во всей области .

Пусть - любая точка области . Покажем, что . Соединим и кусочно-гладкой линией конечной длины (Это возможно в силу определения области). Пусть - расстояние от до . В силу сказанного выше функция равна постоянной в шаре с центром и радиусом . Пусть - последняя точка пересечения линии с поверхностью упомянутого шара, если считать от : . Как установлено выше, в шаре с центром и радиусом имеет место равенство . Пусть - последняя точка пересечения с поверхностью этого шара. Как и выше, функция равна и в шаре с центром и радиуса и т.д. Таким образом, всю линию можно покрыть конечным количеством шаров, внутри которых . Тогда точка окажется внутри последнего из них и, следовательно, .

Аналогично доказывается, что функция не может достигать наименьшего значения внутри области . Для этого достаточно отметить, что максимум функции достигается в той же точке, в которой достигается минимум функции . Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная функция в замкнутой ограниченной области достигает своих наибольшего и наименьшего значений. А так как непостоянная функция не может принимать минимальное и максимальное значения внутри области , то, следовательно, это происходит на границе области . Теорема доказана.

§ 4. Постановка основных краевых задач для уравнения Лапласа

Пусть - область без выходов на бесконечность с кусочно-гладкой границей - область, внешняя по отношению к (т.е. будем считать, что такова, что - также область). Пусть на заданы непрерывные функции .

Внутренняя задача Дирихле (первая внутренняя краевая задачакраевая задача).

Найти функцию , гармоническую в , непрерывную в и принимающую на заданные значения

. (4.1)

Аналогично определяется внешняя задача Дирихле, которая состоит в определении функции, гармонической в , непрерывной в и удовлетворяющей условию (4.1). Напомним, что гармоничность функции в области с выходами на бесконечность, подразумевает кроме удовлетворения функции уравнению Лапласа еще и равномерное стремление функции к нулю при

Внутренняя задача Неймана (вторая внутренняя краевая задача).

Найти функцию , гармоническую в области , такую, чтобы на границе существовала ее правильная производная , и которая удовлетворяет условию

. (4.2)

Аналогично формулируется внешняя задача Неймана (вторая внешняя краевая задача), заключающаяся в поиске гармонической в функции , у которой существует правильная нормальная производная на и для которой выполнено условие (4.2).

Третья внутренняя краевая задача.

Найти функцию , гармоническую в области, такую, чтобы на границе существовала ее правильная производная , и которая удовлетворяет условию

, (4.3)

где - заданная непрерывная на функция.

Аналогично формулируется третья внешняя краевая задача в области .

§ 5. Поведение гармонической функции на бесконечности

Пусть точка лежит вне шара . Совершим преобразование инверсии

. (5.1)

Точки и называются симметричными относительно сферы . Симметричные точки удовлетворяют соотношению

(5.2)

и поэтому преобразование инверсии взаимно однозначно преобразует внешность шара на . Пусть функция - гармоническая вне шара . Функция называется преобразованием Кельвина функции .

Наряду с декартовыми координатами , введем в цилиндрические координаты :

и сферические координаты :

.

Утверждение 3. В цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет вид

. (5.3)

Доказательство. Для доказательства перейдем от представления (5.3) к представлению оператора Лапласа в декартовых координатах. Имеем для первых производных:

;

Отсюда для вторых производных:

.

Поэтому

откуда немедленно вытекает утверждение.

Утверждение 4. В сферических координатах оператор Лапласа имеет вид

. (5.4)

Доказательство. Для доказательства перейдем от представления (5.3) к представлению (5.3) оператора Лапласа в цилиндрических координатах. Свяжем эти координаты соотношениями . Имеем для первых производных:

;

.

Отсюда для вторых производных:

Поэтому

откуда и из очевидного равенства вытекает утверждение.

Утверждение 5. При преобразовании Кельвина гармоничность сохраняется, т.е., если функция гармонична в , то функция гармонична в .

Доказательство. Пусть связанные преобразованием инверсии (5.1) точки имеют следующие сферические координаты . Преобразуем представление в сферических координатах функции с помощью преобразования Кельвина и равенства , вытекающего из (5.2):

(5.5)

Кроме того,

Из последнего равенства и из равенства (5.5) имеем

то есть Отсюда и следует требуемое утверждение.

Лемма 4 (об устранимой особенности). Пусть - изолированная особая точка функции и во всех точках некоторой шаровой окрестности точки функция гармонична, причем . Тогда может быть доопределена в точке до гармонической.

Доказательство. В дальнейшем будет доказана формула Пуассона, согласно которой можно построить гармоническую в шаре функцию , принимающую на те же значения, что и (т.е. принимающую на заданные значения). Рассмотрим также функцию , где - радиус . Последняя функция неотрицательна при и гармонична в области (см. лемму 1). При эта функция растет как , поэтому, если функция при растет медленнее, т.е. , или при , то существует такое число при , что при и . При в этом неравенстве обе части равны нулю и неравенство верно при любом выборе функции , а для выполнения этого неравенства при примем за наименьшее значение выражения (заметим, что при растет медленнее по условию, а - вообще ограничена, как гармоническая). Так как функции и обе являются гармоническими в области , то неравенство выполненное на границе области, по принципу максимума выполнено и внутри . (Действительно, если, например, на границе, то эта разность не может быть больше нуля внутри области).

Зафиксируем точку и устремим к нулю. Правая часть неравенства будет стремиться к нулю, а т.к. его левая часть не зависит от , то и, следовательно, функция гармонична при . Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть гармоническая вне шара функция. Тогда при

. (5.6)

Доказательство. По определению гармонической в области с выходами на бесконечность функции, при , т.е. при . Совершая преобразование Кельвина, получим функцию гармоническую в и удовлетворяющую при условию . По лемме 4 об устранимой особенности заключаем, что - гармоническая в функция. Совершая обратное преобразование Кельвина для функции получим представление из которого (и из ограниченности в шаре гармонической функции ) вытекает первая из оценок (5.6). Для получения второй оценки достаточно продифференцировать представление по каждой из независимых переменных . Теорема 3 доказана.

Доказанная теорема и преобразование Кельвина позволяют внешние краевые задачи сводить к внутренним и наоборот.

§ 6. Теоремы единственности решений