Некоторые свойства функции Грина внутренней задачи Дирихле

Свойство 1. .

Доказательство. На границе и на , если - достаточно мало (т.к. при ). Отсюда в силу принципа максимума (см. теорему 2) вытекает искомое утверждение.

Замечание. Т.к. , то по принципу максимума, при всех и, следовательно,

Свойство 2. Функция Грина симметрична .

Для доказательства применим вторую формулу Грина (2.3) к функциям и и в качестве области интегрирования возьмем - настолько мало, что . В силу гармоничности функций и объемный интеграл будет равен нулю. Интеграл по поверхности также равен нулю, в силу граничного условия . Следовательно, имеет место равенство

(7.6)

Так как при для сферы справедливо равенство

,

где и - непрерывные, ограниченные функции, то учитывая, что , имеем

Откуда

при .

Учтем также, что

где - непрерывная ограниченная функция. Поэтому

.

Используя непрерывность по функций и , а также интегральную теорему о среднем, получим

Следовательно, в пределе при , равенство (7.6) примет вид

.

Отсюда вытекает второе свойство функции Грина.

Замечание. В случае функция Грина имеет вид

.