Лапласа в круге на плоскости

Пусть в плоскости имеется круг и на задана функция полярного угла . Поставим перед собой задачу нахождения функции , удовлетворяющей внутри круга уравнению Лапласа , непрерывной в и принимающей на границе заданные значения , где непрерывная, периодическая функция переменной .

Лемма 5. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет вид

.

Доказательство. Из формул следует

Поэтому

Лемма доказана.

Будем решать задачу Дирихле в круге в полярных координатах. Перепишем уравнение Лапласа в виде

. (8.1)

Найдем частные решения уравнения (8.1), имеющие вид

. (8.2)

Подставив частное решение (8.2) в уравнение (8.1), получим

или

. (8.3)

Так как левая часть этого равенства не зависит от , а правая от , то обе они равны постоянному числу, которое мы обозначим через - . Из последнего равенства получаем два уравнения

; (8.4)

. (8.5)

Общее решение уравнения (8.4) имеет вид .

Решение уравнения (8.5) будем искать в виде . Подставляя в (8.5) , получим или .

Итак, имеются два частных линейно независимых решения и . Общее решение уравнения (8.5) будет иметь вид . Подставляя общие решения и в формулу (8.2), получаем функцию

. (8.6)

Функция будет решением уравнения (8.1) при любом значении , отличном от нуля. Если , то уравнения (8.4) и (8.5) принимают вид , и, следовательно,

. (8.7)

Решение должно быть периодической функцией , так как при одном и том же для углов и мы должны иметь одно и то же значение решения, потому что рассматривается одна и та же точка круга. Поэтому, очевидно, , а в (8.6): . Мы можем ограничиться только положительными значениями , т.к. в силу произвольности отрицательные числа новых частных решений не дают. Далее мы ищем решение непрерывное и конечное в круге, в частности и при , следовательно, . Аналогично, в формуле (8.6): . Таким образом, правая часть (8.7) есть . Обозначим ее через . Итак, . Будем искать решение нашей задачи в виде суммы и подберем так, чтобы выполнялись краевые условия. Итак,

(постоянная включена в и ). Выберем теперь произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворялось краевое условие. При имеем

. (8.8)

Чтобы имело место равенство (8.8) нужно, чтобы функция разлагалась в ряд Фурье на интервале и чтобы и были ее коэффициентами Фурье. Следовательно, и должны определяться по формулам

(8.9)

Итак, ряд (8.8) с коэффициентами (8.9) будет решением нашей задачи, если он допускает конечное двукратное дифференцирование по и (это пока не доказано). Преобразуем формулу (8.8).

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках

Отсюда имеем

.

Полученное представление является двумерным аналогом формулы Пуассона. Двукратное дифференцирование и гармоничность, а также непрерывное удовлетворение краевым условиям доказывается так же, как и в трехмерном случае.

§ 9. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

Эта задача состоит в том, чтобы найти решение уравнения

, (9.1)

удовлетворяющее граничным условиям

,

где и - непрерывные функции переменной .

Вначале ищем частные решения уравнения (9.1), имеющие вид

. (9.2)

Рассмотрим семейство решений вида

Ряд

является решением уравнения (9.1). Обозначим:

.

Из краевых условий получаем уравнения для определения постоянных :

(9.3)

Условия, наложенные при формулировке задачи на функции и позволяют утверждать, что эти функции разлагаются в ряд Фурье по тригонометрическому базису на отрезке

, (9.4)

причем

Сравнивая ряды (9.3) и (9.4), можем записать (решая соответствующую систему линейных уравнений):

Подставляя эти коэффициенты в ряд (9.3) получаем искомое представление в виде ряда.

Вопрос о сходимости ряда, его почленной дифференцируемости изучается отдельно методами исследования рядов Фурье и требует наложения дополнительных условий на функции .

§ 10. Теоремы о последовательностях гармонических функций

Теорема 8. Пусть - область без выходов на бесконечность, - последовательность функций , гармонических в . Пусть сходится равномерно на . Тогда равномерно сходится в и предельная функция будет гармонической в .

Доказательство. В силу равномерной сходимости на , согласно

критерию Коши, по любому найдется такое число , что

, если . На основании теоремы о максимуме и минимуме последнее неравенство будет иметь место и внутри . Тогда, согласно принципу Коши, имеем, что в , причем предельная функция непрерывна в . Докажем гармоничность в . Пусть и . Так как - гармонические функции внутри , то каждую из этих функций в можно представить с помощью интеграла Пуассона .В силу доказанной равномерной сходимости в в последнем равенстве можно перейти к пределу

Отсюда следует, что есть гармоническая внутри функция. В силу произвольности выбора центра сферы , теорема доказана.

Теорема 9. Пусть - гармоническая в ограниченной области последовательность функций, и числовая последовательность фиксированная точка, сходится. Тогда сходится к некоторой гармонической функции равномерно во всяком множестве , где - область и .

Доказательство. По условию теоремы в : . В силу сходимости, согласно критерию Коши, в точке при любом заданном существует такое , что - целые. Опишем из точки шар . Так как , то по неравенству Гарнака где . Возьмем шар меньшего радиуса ( - достаточно мало). В шаре справедлива оценка

Отсюда вытекает равномерная сходимость последовательности внутри шара . Взяв некоторую точку , мы получим равномерную сходимость последовательности внутри шара . Продолжая этот процесс мы докажем равномерную сходимость во всяком замкнутом шаре, лежащем в . По лемме Гейне-Бореля всякую замкнутую область мы можем покрыть конечным числом шаров, лежащих в и это дает нам равномерную сходимость последовательности в . Из равномерной сходимости в силу предыдущей теоремы, предельная функция будет гармонической внутри .

§ 11. Задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности шара

Пусть на поверхности шара задана непрерывная функция . Докажем, что решение внешней задачи Дирихле для шара представимо формулой

(11.1)

Действительно, как и при доказательстве формулы Пуассона, функция определяемая представлением (45), удовлетворяет уравнению Лапласа. Покажем, что равномерно при . Очевидно, . Возьмем точку (см. рис. 6) настолько удаленной от центра шара, что , т.е. . Тогда и

.

Следовательно, справедлива оценка ,

из которой вытекает, что при . Чтобы убедиться, что

при , запишем интеграл (11.1)

в сферических координатах

, (11.2)

- угловые координаты точки .

Подвергнем точку преобразованию инверсии, построив . Интеграл (11.2) можно записать в виде

, (11.3)

При этом и точка будет изнутри шара стремиться к точке . В силу результата, полученного для внутренней задачи Дирихле в шаре, имеем

,

когда . Принимая во внимание, что (при ), можем утверждать, что и правая часть уравнения (47) стремится к , что и требовалось доказать.

§ 12. Примеры построения функций Грина методом отражения

Этот метод применяется для областей, которые могут быть «расширены» так, что для новых областей функция Грина уже построена ранее. Особенностью такого расширения является необходимость указания правила, которым связаны значения функции Грина в «старых» и «новых» точках областей.

Это могут быть симметрии различного вида, инверсии (как в случае построения функции Грина для шара), вращения и т.п.

Первым примером такого построения функции Грина является применение инверсии для шара. Приведем дополнительные примеры.

1⁰. Построим функцию Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в

полупространстве (см. рис. 7). Пусть точка лежит в , т.е. . Точка называется симметричной с точкой относительно плоскости . Докажем, что для исследуемой задачи функция Грина имеет вид .

Проверим выполнение трех свойств функции Грина. Если , то функция гармонична по при всех и . Очевидно, что гармонична при всех , так как . Так как при

,

свойство 2 функции Грина выполнено. Третье свойство вытекает из явного вида функции Грина и того факта, что - гармоническая функция при всех .

2⁰. Построим функцию Грина для полушара (см. рис. 8 ). Пусть точка лежит в этом полушаре, - инверсия относительно - точка симметричная относительно плоскости , а точка - ее инверсия относительно сферы . Докажем, что функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в указанном полушаре имеет вид

.

Аналогично тому, как мы делали при построении функции Грина в

шаре, запишем теорему подобия: для треугольников и в случае, если : или ; для пары треугольников и (учтем, что : или . Учитывая факты подобия, перепишем функцию в виде

,

то есть выполнено второе свойство функции Грина. Выполнение первого и третьего свойств доказывается так же, как для шара или в первом примере.

3⁰. Функция Грина для двугранного угла . Чертеж (см. рис. 9) построим в сечении . В любом сечении параллельном этому сечению построения аналогичны. Пусть точка лежит в двугранном угле и - точка, симметричная относительно плоскости , точка - симметрична точке относительно плоскости , а точка симметрична точке относительно плоскости . Докажем, что функция Грина имеет вид

.

Выполнение свойств 1 и 3 очевидно. Выполнение свойства 2 вытекает из того, что если принадлежит границе области, причем той ее части, которая лежит на плоскости , то , а , поэтому (см. рис. 10)

Если же , то, как видно из рис. 11 ,

, поэтому

.

§ 13. Некоторые сведения о краевых задачах для уравнения Пуассона

Наряду с уравнением Лапласа, имеющим нулевую правую часть, рассмотрим неоднородное уравнение

(13.1)

где - заданная функция, которое называют уравнением Пуассона. Для этого уравнения возможно поставить первую, вторую и третью краевые задачи, точно так же, как в случае уравнения Лапласа. Из доказательства теорем единственности следует, что классы единственности, доказанные для уравнения Лапласа, сохраняются и для уравнения Пуассона (объясните, почему?). Отметим лишь, что в формулировке теоремы единственности для внутренней задачи Неймана вместо сформулированного необходимого условия разрешимости , (которое, впрочем, относится не к единственности, а к разрешимости), необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана для уравнения Пуассона имеет вид

. (13.2)

Действительно, вторая формула Грина, примененная к функциям решению данной задачи и принимает вид

,

откуда следует равенство (13.2).

(повторить доказательство этого факта самостоятельно).

Зададимся целью научиться сводить решение краевых задач для уравнения Пуассона к решению соответствующих задач для уравнения Лапласа.

Рассмотрим функцию отличающуюся от введенной выше функции Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа тем, что от гармонической функции мы не требуем выполнения краевого условия .

Рассмотрим ограниченную область . Когда функция гармоническая по . Вследствие чего из второй формулы Грина следует

, (13.3)

. Когда , эту формулу можно применить в области , где - достаточно мало для того, чтобы шар целиком лежал в . При этом вместо соотношения (13.3) получим равенство

.

При интеграл стремится к несобственному интегралу , если последний существует. Как мы неоднократно оценивали ранее, при , поскольку производная непрерывна и ограничена, а растет на как при . Ранее мы показывали, что при (т.к. внешняя нормаль к части границы области направлена внутрь и, поэтому .

Учитывая найденные значения пределов, окончательно получим

. (13.4)

Предположим, наконец, что точка . Пусть , . Применим вторую формулу Грина в области , где - достаточно мало. Получим

.

При интеграл в левой части этого равенства стремится к

несобственному интегралу по . За его значение примем предел правой части, при вычислении которого мы можем применить все рассуждения упомянутой леммы 2 за тем исключением, что вместо интеграла по будет фигурировать интеграл по , так что равен площади той части сферы , которая лежит в . Имеем как и ранее

.

Введем в точке местную декартову систему координат , так что направление оси совпадает с внешней нормалью и (см. рис. 12). По предположению гладкости границы, уравнение границы внутри достаточно малого шара возможно представить в виде . Если граница класса , то и обращаются в нуль в точке . Вследствие этого, по определению дифференцируемой функции в малой окрестности точки имеет место соотношение

, (13.5)

где величины и обращаются в нуль при . Введем сферические координаты , положив

. Подставив эти соотношения в (13.5), получим

,

где - функция, ограниченная и обращающаяся в нуль одновременно с , а - угловая координата точки на . Воспользовавшись этим соотношением, придем к следующему равенству

,

где при . Вследствие этого

,

что приведет нас к соотношению

(13.6)

Объединяя формулы (13.3), (13.4), (13.6), полученные при , получим

(13.7)

Если является гормонической в , то

(13.8)

Соотношение (13.9) называют основной формулой теории гармонических функций. Оно переносится и на области с выходом на бесконечность.

Пусть - область с выходами на бесконечность и с компактной границей , а - достаточно велико, так что . Применим основную формулу теории гармонических функций (13.8) в области , придем к формуле, левая часть которой будет отличаться от левой части основной формулы тем, что в ней добавляется интеграл . При стремлении в силу теоремы 3 о поведении гармонической функции при , и убывает как , а и - как , т.е. все подынтегральное выражение, как . Переходя к пределу при , снова получим ту же основную формулу теории гармонических функций, т.к. очевидно

.

§ 14. Представление решения задачи Дирихле