Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре

Задача состоит в поиске функции , такой, что в шаре , а на границе шара - сфере выполнено условие где непрерывная по функция.

Для решения этой задачи вначале построим функцию Грина. Точке шара , такой что , с помощью преобразования инверсии (5.1) сопоставим точку . Возьмем теперь некоторую точку и обозначим через и расстояния и соответственно. Найдем соотношение между и , когда (см. рис.2).

Имеем , т.к. - общий и

, т.к. .

Из подобия этих треугольников следует, что

или при .

Покажем теперь, что функция

( - инверсия )

есть искомая функция Грина задачи Дирихле для шара . Действительно, функция гармонична по в за исключением точки , где она обращается в бесконечность. При справедливо равенство . Положив

,

получим, что удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на функцию Грина.

Подставив найденную функцию в полученную ранее формулу , получим

, (7.7)

где дифференцирование ведется по направлению нормали в точке границы . Преобразуем полученную формулу. Имеем . В соответствии с определением дифференцирования по направлению нормами (см. рис.3), имеем

.

Так как

,

то

Аналогично можно получить равенство . Таким образом

(7.8)

Из и по теореме косинусов имеем (рис. 4)

;

Определим значения и из последних равенств и подставим их в (7.8), после чего получим

Используя равенства и , вычислим

Отсюда и из формулы представления решения (7.7) имеем

. (7.9)

Полученная формула называется формулой Пуассона.

Таким образом, если решение внутренней задачи Дирихле для шара существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе со своими первыми производными, то оно представлено формулой Пуассона.

Докажем теперь, что если - непрерывна, то формула Пуассона (7.9) дает решение внутренней задачи Дирихле. Покажем с этой целью, что интеграл, входящий в правую часть формулы Пуассона есть функция гармоническая в , непрерывная в и принимающая заданные краевые значения.

Гармоничность следует из того, что при

( - гармоническая функция, если , а это так, поскольку ).

Возьмем и докажем, что если , то . Формула Пуассона справедлива и при , когда решение задачи Дирихле, очевидно, существует и тождественно равно единице

. (7.10)

Умножим обе части последнего равенства на . Из формулы Пуассона имеем

. (7.11)

Выберем радиус шара столь малым, чтобы при всех в силу непрерывности имело место неравенство - произвольно мало. Обозначим . Оставшуюся часть сферы обозначим . Равенство (7.11) перепишем в виде

(7.12)

Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части равенства (7.12). Вначале оценим первый интеграл

Оценим теперь второй интеграл в правой части (7.12). Допустим, что в своем стремлении к точке , точка уже подошла настолько близко, что лежит в шаре . Тогда , если . Функция непрерывна на , следовательно, она ограничена: . Отсюда имеем

.

Когда разность , следовательно,

при - достаточно малом. Из оценок двух интегралов имеем . Отсюда в силу произвольности следует .

Следствие из формулы Пуассона (Неравенство Гарнака). Рассмотрим нигде не отрицательную в области гармоническую функцию . Пусть . Пусть . Легко видеть, что ядро формулы Пуассона при удовлетворяет неравенствам

(т.к.

по неравенству треугольника)

Из формулы Пуассона непосредственно следует

Применив теорему о среднем значении, получим

. (7.11)

Эта оценка значений положительной гармонической функции в произвольной точке шара через ее значения в центре шара называется неравенством Гарнака.

Теорема 7. Функция, гармоническая во всем равна нулю.

Доказательство. Пусть - гармоническая при функция. Опишем из начала координат сферу . В шаре в соответствии с формулой Пуассона имеет место равенство

Выберем настолько большим, чтобы при имело место неравенство (т.к. гармоническая при ). Тогда . Отсюда и из представления (7.10) вытекает оценка . В силу произвольности теорема доказана.

§ 8. Решение задачи Дирихле для уравнения