Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре
Задача состоит в поиске функции , такой, что в шаре , а на границе шара - сфере выполнено условие где непрерывная по функция.
Для решения этой задачи вначале построим функцию Грина. Точке шара , такой что , с помощью преобразования инверсии (5.1) сопоставим точку . Возьмем теперь некоторую точку и обозначим через и расстояния и соответственно. Найдем соотношение между и , когда (см. рис.2).
Имеем , т.к. - общий и
, т.к. .
Из подобия этих треугольников следует, что
или при .
Покажем теперь, что функция
( - инверсия )
есть искомая функция Грина задачи Дирихле для шара . Действительно, функция гармонична по в за исключением точки , где она обращается в бесконечность. При справедливо равенство . Положив
,
получим, что удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на функцию Грина.
Подставив найденную функцию в полученную ранее формулу , получим
, (7.7)
где дифференцирование ведется по направлению нормали в точке границы . Преобразуем полученную формулу. Имеем . В соответствии с определением дифференцирования по направлению нормами (см. рис.3), имеем 
.
Так как
,
то

Аналогично можно получить равенство . Таким образом
(7.8)
Из и по теореме косинусов имеем (рис. 4)
; 
Определим значения и из последних равенств и подставим их в (7.8), после чего получим

Используя равенства и , вычислим

Отсюда и из формулы представления решения (7.7) имеем
. (7.9)
Полученная формула называется формулой Пуассона.
Таким образом, если решение внутренней задачи Дирихле для шара существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе со своими первыми производными, то оно представлено формулой Пуассона.
Докажем теперь, что если - непрерывна, то формула Пуассона (7.9) дает решение внутренней задачи Дирихле. Покажем с этой целью, что интеграл, входящий в правую часть формулы Пуассона есть функция гармоническая в , непрерывная в и принимающая заданные краевые значения.
Гармоничность следует из того, что при 


( - гармоническая функция, если , а это так, поскольку ).
Возьмем и докажем, что если , то . Формула Пуассона справедлива и при , когда решение задачи Дирихле, очевидно, существует и тождественно равно единице
. (7.10)
Умножим обе части последнего равенства на . Из формулы Пуассона имеем
. (7.11)
Выберем радиус шара столь малым, чтобы при всех в силу непрерывности имело место неравенство - произвольно мало. Обозначим . Оставшуюся часть сферы обозначим . Равенство (7.11) перепишем в виде
(7.12)
Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части равенства (7.12). Вначале оценим первый интеграл

Оценим теперь второй интеграл в правой части (7.12). Допустим, что в своем стремлении к точке , точка уже подошла настолько близко, что лежит в шаре . Тогда , если . Функция непрерывна на , следовательно, она ограничена: . Отсюда имеем
.
Когда разность , следовательно,
при - достаточно малом. Из оценок двух интегралов имеем . Отсюда в силу произвольности следует .
Следствие из формулы Пуассона (Неравенство Гарнака). Рассмотрим нигде не отрицательную в области гармоническую функцию . Пусть . Пусть . Легко видеть, что ядро формулы Пуассона при удовлетворяет неравенствам

(т.к. 
по неравенству треугольника)
Из формулы Пуассона непосредственно следует

Применив теорему о среднем значении, получим
. (7.11)
Эта оценка значений положительной гармонической функции в произвольной точке шара через ее значения в центре шара называется неравенством Гарнака.
Теорема 7. Функция, гармоническая во всем равна нулю.
Доказательство. Пусть - гармоническая при функция. Опишем из начала координат сферу . В шаре в соответствии с формулой Пуассона имеет место равенство 
Выберем настолько большим, чтобы при имело место неравенство (т.к. гармоническая при ). Тогда . Отсюда и из представления (7.10) вытекает оценка . В силу произвольности теорема доказана.
§ 8. Решение задачи Дирихле для уравнения
|