Краевых задач для уравнения Лапласа

Теорема 4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, как внутренней так и внешней, единственно в классе функций .

Доказательство. Рассмотрим вначале внутреннюю задачу Дирихле. Предположим, что существуют два решения и одной и той же задачи Дирихле. Тогда их разность будет гармонической и . Отсюда, по принципу максимума следует, что в , т.е. , т.к. в противном случае она должна была бы достигать внутри наибольшего положительного или наименьшего отрицательного значений, что невозможно.

Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле.

Как и ранее, предположим, что существуют два решения и . Тогда их разность будет гармонической функцией, равной нулю на и равномерно стремящейся к нулю при , т.е. для любого найдется такое , что для справедливо неравенство .

Пусть - произвольная точка области . Проведем сферу с

радиусом - настолько большим, чтобы и поверхность лежали внутри . Кроме того, выберем настолько большим, чтобы по произвольно заданному при было выполнено неравенство . Тогда, как следует из теоремы о максимуме, примененной к области , неравенство выполнено для всех . В силу произвольности заключаем, что , а т.к. - произвольная точка , то в , т.е. . Теорема 4 доказана.

Условие 1. Поверхность - поверхность класса , замкнутая и ограниченная.

Теорема 5. Пусть выполнено условие 1. Решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Необходимым условием разрешимости этой задачи является равенство

. (6.1)

Доказательство. Если и - два решения внутренней задачи Неймана, то их разность и имеет нулевую правильную нормальную производную на . Применяя первую формулу Грина (2.2) к , получим , откуда следует, что , так что .

Необходимость условия (6.1) разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из условия (4.2) и второй формулы Грина (2.3), примененной к функциям и решению задачи. Действительно, . Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть выполнено условие 1. Решение внешней задачи Неймана единственно.

Доказательство. Пусть и - два решения внешней задачи Неймана. Тогда - гармоническая в функция, которая имеет правильную нормальную производную на . По теореме 3 о поведении при гармонических функций имеем . Применяя первую формулу Грина (2.2) к области при , получим

. (6.2)

Но из оценок поведения при следует

. (6.3)

Устремляя получим из (6.2) и (6.3) , но , следовательно, при всех . Теорема доказана.

§ 7. Функция Грина задачи Дирихле

Предварительные рассуждения. Пусть - гармоническая функция и . Тогда имеет место формула (3.3) (3-е свойство гармонической функции):

, (7.1)

где .

Пусть также известна функция , обладающая следующими свойствами:

1. гармонична по в и ;

2. при .

Применяя вторую формулу Грина к гармоническим функциям и , получим

, (7.2)

(интегрирование ведется по ). Из второго свойства функции следует

.

Вычитая последнее равенство из (7.2), получим

. (7.4)

Обозначим

. (7.5)

Эта функция называется функцией Грина задачи Дирихле.

Определение. Функцией Грина внутренней задачи Дирихле Лапласа в области называется функция , удовлетворяющая следующим условиям

1. - гармоническая по ;

2. .

3. При справедливо представление (7.5), где - гармоническая в функция.

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части , которая определяется из задачи Дирихле

С помощью функции Грина решение внутренней задачи Дирихле (если оно существует) задается формулой, вытекающей из (7.4)

. (7.5)

При выводе формулы (7.5) предполагалось существование решения внутренней задачи Дирихле с граничными значениями , непрерывного вместе со своими производными вплоть до границы . Искомая же функция в задаче Дирихле должна быть гармонической внутри области и непрерывной в замкнутой области . Таким образом, не давая доказательства существования решения, формула (35) дает интегральное представление существующих достаточно гладких решений задачи Дирихле. А.М. Ляпунов изучал представление (7.5) решения задачи Дирихле и установил, что если граница области «достаточно хорошая» (в каком смысле, установим позже), формула (7.5) представляет решение задачи Дирихле при любом выборе функции , входящей в граничные условия.

Совершенно аналогично вводится функция Грина для внешней задачи Дирихле.