Для уравнения Пуассона с помощью функции Грина

Рассмотрим задачу

(15.1)

(15.2)

Воспользуемся тождеством

введем для кратности операторное обозначение и преобразуем формулу (13.8) к виду

. (15.3)

Пусть , где и , т.е. - функция Грина третьей краевой задачи. Для этого функция

должна быть решением граничной задачи

.

Подставим в (15.3) значения величин и и, положив , получим интегральное представление решения рассматриваемой задачи

, если . (15.4)

Перейдем к задаче Неймана

. (15.5)

Проведя те же рассуждения, что и для смешанной задачи, придем к выводу, что решение задачи Неймана выражалось бы формулой (15.4), если бы функция была решением граничной задачи

.

Но такой функции нет. В самом деле, положив в основной формуле теории гармонических функций (13.8): , найдем что

, но следовательно

, хотя, согласно (3.2), интеграл . Так как не

существует решения задачи , то не существует и функции , имеющей нормальную производную, равную нулю на границе ограниченной области. Тем не менее, может существовать функция , нормальная производная которой на границе области постоянна и которая в связи с этим может играть роль, аналогичную роли функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона. Чтобы найти эту функцию, изменим граничное условие в задаче для определения , положив , . Легко видеть, что соотношение теперь выполнено и, следовательно, функция может существовать. Определив с ее помощью функцию Грина , найдем, что . Подставив в формулу (13.8) (при )

значения , и , получим

. (15.6)

Интеграл в (15.6) представляет собой среднее значение неизвестной функции на границе , которое, вообще говоря, неизвестно. Однако, как мы знаем, решения внутренней задачи Неймана определены лишь с точностью до постоянного слагаемого, подбором которого среднее значение решения на границе может быть сделано любым. Следовательно, рассматриваемый интеграл должен рассматриваться как произвольная постоянная.

Таким образом, найдя решение задачи

;

и определив по формуле функцию Грина этой задачи, можно по формуле

(15.7)

определить то из решений внутренней задачи Неймана, среднее значение которого на поверхности равно нулю. Все остальные решения задачи Неймана могут быть получены прибавлением к этому решению произвольной постоянной.

В отношении распространения формулы (15.7) на внешние третью краевую задачу и задачу Неймана, справедливы те же рассуждения, что и для первой краевой задачи: на внешние задачи для уравнения Лапласа она распространяется непосредственно, а для уравнения Пуассона - при условии сходимости интеграла . При этом внешняя задача Неймана каких-либо особенностей по сравнению с внешней смешанной задачей не имеет, так как условие не распространяется на функции, гармонические в неограниченной области.