Физический смысл функции Грина
Функция Грина имеет простой физический смысл потенциала, создаваемого точечными источниками. Поясним это на примере поля точечного электрического заряда. По закону Кулона в пустом пространстве потенциал поля единичного точечного заряда, расположенного в точке равен . Предположим, однако, что этот заряд расположен в полости внутри заземленного проводника (см. рис. 13). При этом на границе полости будут индуцированы заряды, потенциал которых таков, что их поле в области должно компенсировать поле точечного заряда, так как потенциал заземленного проводника равен нулю. Вследствие этого, потенциал на границе полости должен удовлетворять граничному условию . Отсюда видно, что потенциал полного поля в полости имеет вид и представляет функцию Грина задачи Дирихле, поставленной для образованной полостью области.
§ 16. Теория потенциала
Рассмотрим область , пусть .
Определение. Выражения
(16.1)
(16.2)
(16.3)
называются объемным потенциалом, потенциалом простого поля, потенциалом двойного слоя, соответственно. Функция называется плотностью , а функция называется плотностью момента.
Физический смысл потенциалов.
Сосредоточенный в точке заряд создает в точке энергетическое поле с напряженностью . Для простоты далее будем считать . Легко видеть, что , где . Функция называется потенциалом поля точечного заряда . Обычно принято считать , чтобы . При наличии нескольких точечных зарядов их потенциалы складываются, следовательно, потенциалы, создаваемые непрерывно распределенными зарядами, находятся в виде предела суммы, т.е. в виде интеграла.
Если заряд распределен с объемной плотностью в области , то создаваемый им потенциал определяется формулой (16.1), если заряд распределен по поверхности с поверхностной плотностью , то создаваемый им потенциал определяется формулой (16.2).
Два точечных заряда и , расположенных на расстоянии при
малом составляют так называемое диполь (см. рис. 14). Величина называется моментом диполя ( - вектором момента). Пусть , но при этом меняются так, что . Определим потенциал диполя как ,где .
Пусть теперь дана ориентированная поверхность . Пусть на распределен диполь с плотностью момента , причем при каждом направление оси диполя параллельно нормалям к . Потенциал, создаваемый диполем, определяется формулой (16.3), где - направлено от к , - внутренняя нормаль в точке . Рассматриваемое распределение диполя может нами пониматься, как предел при двух наложенных на распределений зарядов с плотностью и на расстоянии (по нормалям к ). В дальнейшем будем считать, что (наоборот) и - внешняя нормаль к .
§ 17. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Изложим некоторые положения теории несобственных интегралов, зависящих от параметра.
1. Рассмотрим интеграл
, (17.1)
где - непрерывная функция переменных . В точке терпит разрыв. Если при этом справедлива оценка , то рассматриваемый интеграл сходится абсолютно.
Определение. Интеграл (17.2) называется равномерно сходящимся в точке , если для любого существует , такое, что имеет место неравенство , для любой точки и для любой области , содержащей и имеющей диаметр .
Теорема 10. Равномерно сходящийся в точке интеграл (17.1) есть функция , непрерывная в точке .
Доказательство. Возьмем произвольное и выделим согласно определению равномерной сходимости интеграла (17.1) в точке . Представим интеграл (17.1) в виде
.
Тогда . Пусть . Тогда, в силу равномерной сходимости интеграла (17.1) в точке , имеем и, следовательно,
. (17.2)
В интеграле интегрирование совершается по , а , поэтому непрерывна в точке и некоторой ее окрестности. Следовательно, для всех , достаточно близких к : , отсюда и из (17.2) получаем оценку . Теорема доказана.
Пусть - замкнутая поверхность и непрерывна при , а при . Тогда интеграл
(17.3)
является непрерывной функцией , когда . Если , то , как функция , непрерывна на , за исключением случая . Исключим точку вместе с некоторой малой окрестностью диаметра . На оставшейся поверхности непрерывна и ограничена, поэтому
существует интеграл
. (17.4)
Если при произвольном стягивании области к точке интеграл (17.4) стремится к определенному конечному пределу, не зависящему от выбора областей , то этот предел и называют несобственным интегралом от функции по поверхности 
(17.5)
Интеграл (17.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Если последний интеграл сходится, то сходится и интеграл (17.5).
Определение. Интеграл (17.3) называют равномерно сходящимся в точке , если для любого найдется такая окрестность и такая часть поверхности , содержащая строго внутри точку , что для любого интеграл 
Теорема 11 (доказательство аналогично предыдущему). Равномерно сходящийся в точке интеграл (17.3) есть функция , непрерывная в точке .
§ 18. Объемный потенциал
Рассмотрим объемный потенциал
, (18.1)
где - область без выходов на бесконечность. Положим, что ограничена и интегрируема в . Интеграл (18.1) собственный, если . В этом случае функция непрерывна и имеет частные производные всех порядков. Так как - фундаментальное решение уравнения Лапласа, то при . Покажем, что . Поместим начало координат внутри (см. рис. 15). Тогда или . Обозначим диаметр области (см. рис. 15) Рис. 15 через . Тогда . Будем считать, что настолько удалена от , что , т.е. и или . Теперь , где . Таким образом, объемный потенциал есть гармоническая функция при .
Пусть теперь . Так как , то интеграл (18.1) несобственный и сходится.
Теорема 12. Если ограничена и интегрируема в , то потенциал и его частные производные первого порядка непрерывны в и эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.
Доказательство. Покажем вначале, что интегралы и
, (18.2)
полученные формальным дифференцированием (18.1) по , равномерно сходятся в любой точке . Пусть и . Имеем (если ), , см. рис. 16:
,
причем стремление к нулю в последней оценке независимо от точки , т.е. выбирая по заданному число (не зависящее от выбора ), мы убеждаемся в равномерной сходимости интеграла (18.1) в произвольной точке . Повторяя аналогичные рассуждения для , получим
,
если . Отсюда следует равномерная сходимость и . При доказательстве мы использовали лишь ограниченность , поэтому интегралы (18.1) и (18.2) непрерывны в точках разрыва . Точки границы области можно рассматривать, как точки разрыва функции , равной нулю вне . Следовательно, и непрерывны во всем .
Докажем теперь, что . Пусть . Рассмотрим разность
(18.3)
и покажем, что она стремится к нулю при . Рассмотрим , так что . Разложим функции
.
Разность (18.3) можно записать в виде
. (18.4)
Оценим в отдельности каждое из слагаемых в правой части (18.4), считая . Мы имеем (т.к. ):


Но следовательно,
. (18.5)
Оценим 
. (18.6)
Зададим теперь малое и возьмем радиус шара столь малым, чтобы . Тогда для любого :
(18.7)
Для третьего слагаемого в (18.4) имеем , т.к. и лежат вне . Следовательно, для любого можно указать такое , что из оценки следует неравенство , отсюда в силу (18.7), (18.4): если , отсюда .
Аналогично . Теорема доказана.
Теорема 13. Если плотность , причем первые производные равномерно в ограничены, то объемный потенциал , причем .
Доказательство. Пусть , пусть , пусть . Представим в виде , где
.
В силу предыдущей теоремы
,
но . Тогда
. Проинтегрируем второй интеграл по частям, получим
(18.8)
Первое слагаемое в (18.8) есть собственный интеграл для , причем существует производная , то же можно утверждать и о третьем слагаемом в (18.8), так как , а . Второе слагаемое в правой части (18.8) есть объемный потенциал с плотностью и, по предыдущей теореме 12 существуют его первые производные, непрерывные во всем . Следовательно, имеет непрерывные первые производные при . Аналогичные рассуждения, примененные к доказывают, что существуют производные . В силу произвола выбора получаем утверждение теоремы о том, что . Докажем удовлетворение уравнению Пуассона. Интеграл есть гармоническая функция при , т.е. при , следовательно, при . Воспользовавшись этим, вычислим при из (18.8)
(18.9)
Величина не зависит от выбора . Устремим к нулю. Пусть . Учитывая, что , имеем
при .
Следовательно, объемный интеграл в (18.8) стремится к нулю при .
Рассмотрим поверхностный интеграл в (18.9). Так как для сферы, то

где .
Следовательно, интеграл по в (18.9) может быть записан в виде , при некотором . При , поэтому, переходя к пределу в (18.9), имеем , что требовалось доказать. Теорема доказана.
Замечание. Если , то уравнение Пуассона имеет частное решение .
§ 19. Поверхности Ляпунова
Для того, чтобы строго изучить свойства потенциалов простого и двойного слоя, необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на которых расположены эти слои.
Определение. Будем называть замкнутую поверхность поверхностью Ляпунова, если
1. В каждой точке существует касательная плоскость.
2. Существует такое что для любых сфера делит на две части, одна из которых заключается внутри , а другая вне и прямые, параллельные нормами к в точке пересекают часть , находящуюся внутри не более, чем в одной точке.
3. Если -острый угол, образованный нормалями к в двух ее точках и и , то существуют постоянные , не зависящие от , такие что для любых имеет место оценка .
Пояснения. Условие 1 дает возможность в каждой точке построить местную прямоугольную систему координат с полюсом в , так что переменные и лежат в касательной плоскости, а переменная
изменяется в направлении внешней нормали.
Условие 2 показывает, что в этой местной системе уравнение части поверхности может быть (локально, внутри ) представлено в виде . Для упрощения записи, если , будем обозначать его координаты , где , если , то будем его координаты обозначать по-прежнему .
Из условия 3 следует, что частные производные , существование которых обеспечено условием 1, являются непрерывными функциями и . В дальнейшем будем считать, что взято достаточно малым. Например, можно принять условие , так что угол между нормалью в любой точке и нормалью в не достигает . Обозначая , имеем
,
откуда, так как , то
.
Следовательно, в силу условия : откуда . Вводим полярные координаты: . Имеем
,
то есть , или более грубую оценку , откуда . Но . Из неравенства имеем , откуда , или, тем более, , так как при . Из оценок и имеем .
Оценим .
.
Аналогично, . Мы, кроме того, имеем оценку .
Выпишем вместе все ранее полученные оценки
, (19.1)
где - постоянная, наибольшая из всех, входящих в соответствующие оценки. Указанные оценки сохраняются при замене в правых частях на .
§ 20. Потенциал двойного слоя
Рассмотрим потенциал двойного слоя, распределенный на поверхности Ляпунова, с непрерывной плотностью (рис. 17)
.
При существуют все . Покажем, что при : . Возьмем начало координат внутри области: . Тогда . Обозначим , где . Пусть настолько удалено, что или . Тогда, обозначив , имеем оценку
.
Пусть теперь . Обозначим . Покажем, что и в этом случае сходится. Для этого достаточно исследовать подынтегральную функцию на куске границы . В точке построим местную (локальную) систему координат, в которой уравнение границы имеет вид . В этой системе координат точка , а точка имеет координаты и . Найдем , где - направление 
,
но . Следовательно,
.
При исследовании поверхностей Ляпунова нами доказаны оценки

а также очевидные оценки , где получим , где - постоянная. Кроме того, для непрерывной функции справедлива оценка . Заменяя интеграл по интегралом по - проекции на плоскость местной системы координат, получим
( - угол между и ), но
,
где использована оценка из (19.1): . Отсюда следует
сходимость интеграла , а следовательно, и , когда . Если , то значение интеграла называют прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть теперь и пусть . Если при этом приближении существует , то будем говорить, что принимает в точке предельное значение. Предельные и прямые значения потенциала двойного слоя, вообще говоря, не совпадают.
Далее мы покажем, что предельные значения потенциала двойного слоя , вообще говоря, различны в зависимости от того, извне или изнутри стремится точка к и эти предельные значения не совпадают с прямыми значениями.
Применим основную формулу теории гармонических функций (13.8) при , , обозначив . Получим
(20.1)
Интеграл называется интегралом Гаусса. В дальнейшем будем предполагать, что
, (20.2)
что является ограничением на поверхность .
Теорема 14. Потенциал двойного слоя имеет пределы , причем имеют место формулы
(20.3)
где .
Доказательство. Пусть . Представим в виде
, (20.4)
где - интеграл Гаусса.
Пусть (см. рис.18) Поведение известно. Рассмотрим . Докажем, что сохраняет непрерывность, когда пересекает в точке . Зададим . В силу непрерывности существует участок : 
. ( - из условия (20.2)).
Разобьем поверхность на части .
, (20.5)
где
(20.6)
Справедлива оценка .
Из (20.5) следует
,
откуда

В интегрирование ведется по , причем , следовательно, подынтегральная функция в непрерывна, следовательно, непрерывна в точке и сама функция , т.е. при для любого : и поэтому, , откуда следует непрерывность в точке .
Пусть изнутри . Тогда .
Пусть в формуле представления . Тогда, в силу формулы (20.5) и интеграла Гаусса . Сравнивая два последних представления, имеем .
Пусть теперь извне . Аналогично получим
, откуда .
Теорема доказана.
§ 21. Потенциал простого слоя
Потенциал простого слоя распределен по поверхности Ляпунова . Очевидно, что во всех точках потенциал простого слоя имеет производные любого порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как и в случае потенциала двойного слоя, доказывается, что , где .
Теорема 15. Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью есть функция непрерывная во всем пространстве .
Доказательство. Уже отмечалось, что непрерывен во всех . Покажем, что непрерывен и при . Для этого нужно доказать, что интеграл сходится равномерно в точках поверхности . Пусть - произвольная точка поверхности . В точке построим местную систему координат, как указано выше. Пусть - заданное число и часть поверхности , определенная условием , ( - из определения поверхности Ляпунова). Покажем, что можно выбрать настолько малым, чтобы при любом положении в некоторой окрестности выполнялось неравенство
. (21.1)
Мы имеем
, (21.2)
где - круг радиуса с центром в , (так как ), .
Если , то принадлежит кругу с центром в , лежащему в плоскости (см. рис. 19).
Если на плоскости взять круг радиуса с центром в точке , то он, очевидно, будет содержать весь круг , так что в силу (21.2):
.
Последняя оценка не зависит от положения точки на . Фиксируем теперь так, чтобы , и получим оценку (21.1) при любом положении в . Это и означает, что интеграл сходится равномерно в точке , а, следовательно, функция непрерывна в точке . Теорема доказана.
§ 22. Нормальная производная потенциала простого слоя
Пусть - направление внешней нормали в некоторой точке .
Считая, что , составим производную . От зависит лишь и мы можем дифференцировать под знаком интеграла
. (22.1)
Отметим разницу между последним интегралом и потенциалом двойного слоя . В , где , а - нормаль в точке , - переменная интегрирования. В интеграле (22.1) , где - единичный вектор внешней нормали в фиксированной точке . В обоих случаях . Покажем, что интеграл (22.1) существует и в том случае, когда , причем . В этом последнем случае будем записывать интеграл (22.1) в виде 
. (22.2)
Для этого достаточно рассмотреть интеграл (22.1) на участке ['s']['_228270']=__lxGc__['s']['_228270']||{'b':{}})['b']['_698049']={'i':__lxGc__.b++};
</script>
<hr><table width=) |