Физический смысл функции Грина

Функция Грина имеет простой физический смысл потенциала, создаваемого точечными источниками. Поясним это на примере поля точечного электрического заряда. По закону Кулона в пустом пространстве потенциал поля единичного точечного заряда, расположенного в точке равен . Предположим, однако, что этот заряд расположен в полости внутри заземленного проводника (см. рис. 13). При этом на границе полости будут индуцированы заряды, потенциал которых таков, что их поле в области должно компенсировать поле точечного заряда, так как потенциал заземленного проводника равен нулю. Вследствие этого, потенциал на границе полости должен удовлетворять граничному условию . Отсюда видно, что потенциал полного поля в полости имеет вид и представляет функцию Грина задачи Дирихле, поставленной для образованной полостью области.

§ 16. Теория потенциала

Рассмотрим область , пусть .

Определение. Выражения

(16.1)

(16.2)

(16.3)

называются объемным потенциалом, потенциалом простого поля, потенциалом двойного слоя, соответственно. Функция называется плотностью , а функция называется плотностью момента.

Физический смысл потенциалов.

Сосредоточенный в точке заряд создает в точке энергетическое поле с напряженностью . Для простоты далее будем считать . Легко видеть, что , где . Функция называется потенциалом поля точечного заряда . Обычно принято считать , чтобы . При наличии нескольких точечных зарядов их потенциалы складываются, следовательно, потенциалы, создаваемые непрерывно распределенными зарядами, находятся в виде предела суммы, т.е. в виде интеграла.

Если заряд распределен с объемной плотностью в области , то создаваемый им потенциал определяется формулой (16.1), если заряд распределен по поверхности с поверхностной плотностью , то создаваемый им потенциал определяется формулой (16.2).

Два точечных заряда и , расположенных на расстоянии при

малом составляют так называемое диполь (см. рис. 14). Величина называется моментом диполя ( - вектором момента). Пусть , но при этом меняются так, что . Определим потенциал диполя как ,где .

Пусть теперь дана ориентированная поверхность . Пусть на распределен диполь с плотностью момента , причем при каждом направление оси диполя параллельно нормалям к . Потенциал, создаваемый диполем, определяется формулой (16.3), где - направлено от к , - внутренняя нормаль в точке . Рассматриваемое распределение диполя может нами пониматься, как предел при двух наложенных на распределений зарядов с плотностью и на расстоянии (по нормалям к ). В дальнейшем будем считать, что (наоборот) и - внешняя нормаль к .

§ 17. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Изложим некоторые положения теории несобственных интегралов, зависящих от параметра.

1. Рассмотрим интеграл

, (17.1)

где - непрерывная функция переменных . В точке терпит разрыв. Если при этом справедлива оценка , то рассматриваемый интеграл сходится абсолютно.

Определение. Интеграл (17.2) называется равномерно сходящимся в точке , если для любого существует , такое, что имеет место неравенство , для любой точки и для любой области , содержащей и имеющей диаметр .

Теорема 10. Равномерно сходящийся в точке интеграл (17.1) есть функция , непрерывная в точке .

Доказательство. Возьмем произвольное и выделим согласно определению равномерной сходимости интеграла (17.1) в точке . Представим интеграл (17.1) в виде

.

Тогда . Пусть . Тогда, в силу равномерной сходимости интеграла (17.1) в точке , имеем и, следовательно,

. (17.2)

В интеграле интегрирование совершается по , а , поэтому непрерывна в точке и некоторой ее окрестности. Следовательно, для всех , достаточно близких к : , отсюда и из (17.2) получаем оценку . Теорема доказана.

Пусть - замкнутая поверхность и непрерывна при , а при . Тогда интеграл

(17.3)

является непрерывной функцией , когда . Если , то , как функция , непрерывна на , за исключением случая . Исключим точку вместе с некоторой малой окрестностью диаметра . На оставшейся поверхности непрерывна и ограничена, поэтому

существует интеграл

. (17.4)

Если при произвольном стягивании области к точке интеграл (17.4) стремится к определенному конечному пределу, не зависящему от выбора областей , то этот предел и называют несобственным интегралом от функции по поверхности

(17.5)

Интеграл (17.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Если последний интеграл сходится, то сходится и интеграл (17.5).

Определение. Интеграл (17.3) называют равномерно сходящимся в точке , если для любого найдется такая окрестность и такая часть поверхности , содержащая строго внутри точку , что для любого интеграл

Теорема 11 (доказательство аналогично предыдущему). Равномерно сходящийся в точке интеграл (17.3) есть функция , непрерывная в точке .

§ 18. Объемный потенциал

Рассмотрим объемный потенциал

, (18.1)

где - область без выходов на бесконечность. Положим, что ограничена и интегрируема в . Интеграл (18.1) собственный, если . В этом случае функция непрерывна и имеет частные производные всех порядков. Так как - фундаментальное решение уравнения Лапласа, то при . Покажем, что . Поместим начало координат внутри (см. рис. 15). Тогда или . Обозначим диаметр области (см. рис. 15) Рис. 15 через . Тогда . Будем считать, что настолько удалена от , что , т.е. и или . Теперь , где . Таким образом, объемный потенциал есть гармоническая функция при .

Пусть теперь . Так как , то интеграл (18.1) несобственный и сходится.

Теорема 12. Если ограничена и интегрируема в , то потенциал и его частные производные первого порядка непрерывны в и эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.

Доказательство. Покажем вначале, что интегралы и

, (18.2)

полученные формальным дифференцированием (18.1) по , равномерно сходятся в любой точке . Пусть и . Имеем (если ), , см. рис. 16:

,

причем стремление к нулю в последней оценке независимо от точки , т.е. выбирая по заданному число (не зависящее от выбора ), мы убеждаемся в равномерной сходимости интеграла (18.1) в произвольной точке . Повторяя аналогичные рассуждения для , получим

,

если . Отсюда следует равномерная сходимость и . При доказательстве мы использовали лишь ограниченность , поэтому интегралы (18.1) и (18.2) непрерывны в точках разрыва . Точки границы области можно рассматривать, как точки разрыва функции , равной нулю вне . Следовательно, и непрерывны во всем .

Докажем теперь, что . Пусть . Рассмотрим разность

(18.3)

и покажем, что она стремится к нулю при . Рассмотрим , так что . Разложим функции

.

Разность (18.3) можно записать в виде

. (18.4)

Оценим в отдельности каждое из слагаемых в правой части (18.4), считая . Мы имеем (т.к. ):

Но следовательно,

. (18.5)

Оценим

. (18.6)

Зададим теперь малое и возьмем радиус шара столь малым, чтобы . Тогда для любого :

(18.7)

Для третьего слагаемого в (18.4) имеем , т.к. и лежат вне . Следовательно, для любого можно указать такое , что из оценки следует неравенство , отсюда в силу (18.7), (18.4): если , отсюда .

Аналогично . Теорема доказана.

Теорема 13. Если плотность , причем первые производные равномерно в ограничены, то объемный потенциал , причем .

Доказательство. Пусть , пусть , пусть . Представим в виде , где

.

В силу предыдущей теоремы

,

но . Тогда

. Проинтегрируем второй интеграл по частям, получим

(18.8)

Первое слагаемое в (18.8) есть собственный интеграл для , причем существует производная , то же можно утверждать и о третьем слагаемом в (18.8), так как , а . Второе слагаемое в правой части (18.8) есть объемный потенциал с плотностью и, по предыдущей теореме 12 существуют его первые производные, непрерывные во всем . Следовательно, имеет непрерывные первые производные при . Аналогичные рассуждения, примененные к доказывают, что существуют производные . В силу произвола выбора получаем утверждение теоремы о том, что . Докажем удовлетворение уравнению Пуассона. Интеграл есть гармоническая функция при , т.е. при , следовательно, при . Воспользовавшись этим, вычислим при из (18.8)

(18.9)

Величина не зависит от выбора . Устремим к нулю. Пусть . Учитывая, что , имеем

при .

Следовательно, объемный интеграл в (18.8) стремится к нулю при .

Рассмотрим поверхностный интеграл в (18.9). Так как для сферы, то

где .

Следовательно, интеграл по в (18.9) может быть записан в виде , при некотором . При , поэтому, переходя к пределу в (18.9), имеем , что требовалось доказать. Теорема доказана.

Замечание. Если , то уравнение Пуассона имеет частное решение .

§ 19. Поверхности Ляпунова

Для того, чтобы строго изучить свойства потенциалов простого и двойного слоя, необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на которых расположены эти слои.

Определение. Будем называть замкнутую поверхность поверхностью Ляпунова, если

1. В каждой точке существует касательная плоскость.

2. Существует такое что для любых сфера делит на две части, одна из которых заключается внутри , а другая вне и прямые, параллельные нормами к в точке пересекают часть , находящуюся внутри не более, чем в одной точке.

3. Если -острый угол, образованный нормалями к в двух ее точках и и , то существуют постоянные , не зависящие от , такие что для любых имеет место оценка .

Пояснения. Условие 1 дает возможность в каждой точке построить местную прямоугольную систему координат с полюсом в , так что переменные и лежат в касательной плоскости, а переменная

изменяется в направлении внешней нормали.

Условие 2 показывает, что в этой местной системе уравнение части поверхности может быть (локально, внутри ) представлено в виде . Для упрощения записи, если , будем обозначать его координаты , где , если , то будем его координаты обозначать по-прежнему .

Из условия 3 следует, что частные производные , существование которых обеспечено условием 1, являются непрерывными функциями и . В дальнейшем будем считать, что взято достаточно малым. Например, можно принять условие , так что угол между нормалью в любой точке и нормалью в не достигает . Обозначая , имеем

,

откуда, так как , то

.

Следовательно, в силу условия : откуда . Вводим полярные координаты: . Имеем

,

то есть , или более грубую оценку , откуда . Но . Из неравенства имеем , откуда , или, тем более, , так как при . Из оценок и имеем .

Оценим .

.

Аналогично, . Мы, кроме того, имеем оценку .

Выпишем вместе все ранее полученные оценки

, (19.1)

где - постоянная, наибольшая из всех, входящих в соответствующие оценки. Указанные оценки сохраняются при замене в правых частях на .

§ 20. Потенциал двойного слоя

Рассмотрим потенциал двойного слоя, распределенный на поверхности Ляпунова, с непрерывной плотностью (рис. 17)

.

При существуют все . Покажем, что при : . Возьмем начало координат внутри области: . Тогда . Обозначим , где . Пусть настолько удалено, что или . Тогда, обозначив , имеем оценку

.

Пусть теперь . Обозначим . Покажем, что и в этом случае сходится. Для этого достаточно исследовать подынтегральную функцию на куске границы . В точке построим местную (локальную) систему координат, в которой уравнение границы имеет вид . В этой системе координат точка , а точка имеет координаты и . Найдем , где - направление

,

но . Следовательно,

.

При исследовании поверхностей Ляпунова нами доказаны оценки

а также очевидные оценки , где получим , где - постоянная. Кроме того, для непрерывной функции справедлива оценка . Заменяя интеграл по интегралом по - проекции на плоскость местной системы координат, получим

( - угол между и ), но

,

где использована оценка из (19.1): . Отсюда следует

сходимость интеграла , а следовательно, и , когда . Если , то значение интеграла называют прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть теперь и пусть . Если при этом приближении существует , то будем говорить, что принимает в точке предельное значение. Предельные и прямые значения потенциала двойного слоя, вообще говоря, не совпадают.

Далее мы покажем, что предельные значения потенциала двойного слоя , вообще говоря, различны в зависимости от того, извне или изнутри стремится точка к и эти предельные значения не совпадают с прямыми значениями.

Применим основную формулу теории гармонических функций (13.8) при , , обозначив . Получим

(20.1)

Интеграл называется интегралом Гаусса. В дальнейшем будем предполагать, что

, (20.2)

что является ограничением на поверхность .

Теорема 14. Потенциал двойного слоя имеет пределы , причем имеют место формулы

(20.3)

где .

Доказательство. Пусть . Представим в виде

, (20.4)

где - интеграл Гаусса.

Пусть (см. рис.18) Поведение известно. Рассмотрим . Докажем, что сохраняет непрерывность, когда пересекает в точке . Зададим . В силу непрерывности существует участок :

. ( - из условия (20.2)).

Разобьем поверхность на части .

, (20.5)

где

(20.6)

Справедлива оценка .

Из (20.5) следует

,

откуда

В интегрирование ведется по , причем , следовательно, подынтегральная функция в непрерывна, следовательно, непрерывна в точке и сама функция , т.е. при для любого : и поэтому, , откуда следует непрерывность в точке .

Пусть изнутри . Тогда .

Пусть в формуле представления . Тогда, в силу формулы (20.5) и интеграла Гаусса . Сравнивая два последних представления, имеем .

Пусть теперь извне . Аналогично получим

, откуда .

Теорема доказана.

§ 21. Потенциал простого слоя

Потенциал простого слоя распределен по поверхности Ляпунова . Очевидно, что во всех точках потенциал простого слоя имеет производные любого порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как и в случае потенциала двойного слоя, доказывается, что , где .

Теорема 15. Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью есть функция непрерывная во всем пространстве .

Доказательство. Уже отмечалось, что непрерывен во всех . Покажем, что непрерывен и при . Для этого нужно доказать, что интеграл сходится равномерно в точках поверхности . Пусть - произвольная точка поверхности . В точке построим местную систему координат, как указано выше. Пусть - заданное число и часть поверхности , определенная условием , ( - из определения поверхности Ляпунова). Покажем, что можно выбрать настолько малым, чтобы при любом положении в некоторой окрестности выполнялось неравенство

. (21.1)

Мы имеем

, (21.2)

где - круг радиуса с центром в , (так как ), .

Если , то принадлежит кругу с центром в , лежащему в плоскости (см. рис. 19).

Если на плоскости взять круг радиуса с центром в точке , то он, очевидно, будет содержать весь круг , так что в силу (21.2):

.

Последняя оценка не зависит от положения точки на . Фиксируем теперь так, чтобы , и получим оценку (21.1) при любом положении в . Это и означает, что интеграл сходится равномерно в точке , а, следовательно, функция непрерывна в точке . Теорема доказана.

§ 22. Нормальная производная потенциала простого слоя

Пусть - направление внешней нормали в некоторой точке .

Считая, что , составим производную . От зависит лишь и мы можем дифференцировать под знаком интеграла

. (22.1)

Отметим разницу между последним интегралом и потенциалом двойного слоя . В , где , а - нормаль в точке , - переменная интегрирования. В интеграле (22.1) , где - единичный вектор внешней нормали в фиксированной точке . В обоих случаях . Покажем, что интеграл (22.1) существует и в том случае, когда , причем . В этом последнем случае будем записывать интеграл (22.1) в виде

. (22.2)

Для этого достаточно рассмотреть интеграл (22.1) на участке