Вынужденные колебания

Свободные колебания всегда затухают за то или иное время и именно по этой же причине никогда не используются на практике.

Наиболее простым способом возбуждения незатухающих колебаний является то, что на систему действует внешняя периодическая сила. Колебания под действием внешней силы называется вынужденным.Работа этой силы над системой обеспечивает приток энергии извне, который не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения. Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой ω и амплитудой х_m по гармоническому закону:

Колебания вида(1.1) не являются гармоническими, так как их амплитуда зависит от времени. Для создания незатухающих гармонических колебаний в системе с трением требуется подвод энергии извне для компенсации ее потерь за счет трения. Это можно осуществить, действуя на систему гармонической внешней– вынуждающей– силой

(1.8)

где – амплитуда и – частота вынуждающей силы.

Движение системы под действием вынуждающей силы (1.8) является суперпозицией свободного затухающего колебания вида (1.1) и установившегося(вынужденного) гармонического колебания

(1.9)

где амплитуда; отставание по фазе установившегося вынужденного колебания от вынуждающей силы. Если колебания линейны, например тело массой , подвешенное на пружинке, то зависимость амплитуды и сдвига по фазе от частоты описывается следующими формулами:

(1.10)

(1.11)

При крутильных колебаниях (например, в данной работе исследуются именно крутильные колебания маятника Поля) роль амплитуды вынуждающей силы играет амплитуда момента этой силы, а роль массы, соответственно, момент инерции тела совершающего крутильные колебания. При переходе от линейных (совершаемых вдоль некоторой прямой) колебаний к крутильным (вращательное движение) структура формул (1.10) и (1.11) не меняется, зависимость от частоты амплитуды и сдвига по фазе остается прежней.

График зависимости α от t представлен на рис. 5

рис. 5

Вынуждающий момент отсутствует и моментом сил трения можно пренебречь (М₁= М₃= 0). Тогда

Решая последнее уравнение, можно получить

(1.12)

где

в чем также можно убедиться непосредственной подстановкой.

В инерциальной системе отсчета вынужденные колебания физического маятника в поле силы тяжести описываются уравнением

(1.14)

где - угол отклонения маятника от положения равновесия, - соответственно моменты сил тяжести и трения, а также вынуждающей, действующей на маятник, — момент инерции маятника относительно оси вращения Z.

При малых и момент сил трения можно считать пропорциональным угловой скорости маятника

Если внешняя (вынуждающая) сила изменяется со временем по

гармоническому закону, то уравнение (1.14) принимает вид:

или

(1.15)

где – коэффициент момента силы тяжести, возвращающей маятник в положение равновесия, - соответственно масса, расстояние от центра масс маятника до оси подвеса и ускорение свободного падения, – коэффициент трения, – коэффициент затухания, – угловая частота собственных колебаний маятника, угловая частота момента вынуждающей силы, – амплитуда момента вынуждающей силы.

Движение маятника, описываемое этим уравнением, является сложным. Оно представляет собой сумму вынужденных гармонических колебаний с некоторой угловой амплитудой и угловой частотой и свободных колебаний, затухающих с течением времени и имеющих частоту

(1.16)

Однако, после переходного процесса, когда свободные колебания затухнут, маятник начнет колебаться по гармоническому закону (стационарный режим) с некоторым сдвигом по фазе по отношению к вынуждающему воздействию:

(1.17)

где

(1.18)

и

Вернемся к исходному уравнению (1.3). Решение этого уравнения приводит к следующим выражениям для углового смещения, сдвига фаз между вынуждающими и вынужденными колебаниями и амплитуды:

(1.19)

(1.20)