Резонансные кривые

Самый интересный частный случай вынужденных колебаний - это случай совпадения частоты колебаний внешней периодической силы с собственной частотой колебаний системы (ω ≈ ω₀).

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний называется резонансом*. Амплитуда установившегося вынуж­денного колебания a(w)достигает максимального значения, когда частота вынуждающей силы w оказывается равной резонансной частоте системы:

w_рез = (1.21)

Наблюдать явление резонанса можно с помощью установки, изображенной на рисунке 3

Рис.3 Явление резонанса.

Условие резонанса запишется в виде (ω=ω_рез);

Зависимости и от для трех различных значений (см. второй аргумент функций у левой вертикальной оси) показаны на рис. 4 и 5 Отметим, что показанные на рисунках кривые – результат расчета, так что масштаб и форма кривых полностью соблюдены.

На рис. 4 первый аргумент амплитуды − частота вынуждающей силы в единицах собственной частоты второй аргумент: – коэффициент затухания втех же единицах; третий аргумент: – приведеннаяамплитуда вынуждающей силы (момента сил для крутильных колебаний).

На рис. 5 даны зависимости сдвига (деленного для наглядности на π) по фазе установившегося вынужденного колебания от вынуждающей силы при различных значениях коэффициента затухания. Остальные обозначения на рисунке такие же, как и на рис. 4.

Продифференцировав (1.6) по частоте и приравняв производную нулю, легко показать, что амплитуда установившегося вынужденного колебания достигает максимального значения при равенстве частоты вынуждающей силы ω резонансной частоте системы β

(1.22)

Рис. 4

Отметим еще раз, что при β<< ω как резонансная частота, так и частота свободных затухающий колебаний, обе приближенно равны собственной частоте системы(см. также(1.3)):

Видно, что резонансная частота меньше собственной, собственной частоте на оси абсцисс соответствует единица.

Рис. 5

Как видно из рис. 4 (верхняя сплошная кривая), при малом затухании амплитуда в момент резонанса

может достигать весьма большой величины. В некоторых случаях резонансное возрастание амплитуды колебаний способно привести к разрушению колеблющейся системы(мост, ротор турбины и т.п.).

Как видно из формулы(1.7) (см. также рис. 5), при малых частотах вынуждающей силы система колеблется синфазно с вынуждающей силой, при больших частотах колебания совершаются в противофазе при точно. В окрестности резонанса если, кроме того, мало затухание , то приближенно.

При определенной частоте ω_рез амплитуда резко возрастает. Найдем резонансную частоту из условия максимума амплитуды

(1.23)

или

(1.24)

Выражение в квадратных скобках не может быть равно нулю, так как оба слагаемых положительны. Следовательно,

-1 -2

Рис 6. Графики затухающих (1) и вынужденных(2) колебаний

Величина

называется собственной частотой колебательной системы. Откуда период колебания системы

(1.25)

Оборудование:

Для исследования свободных, вынужденных и хаотических колебеаний с различными степенями затухания используют установку маятника Поля (Pohl’spendulum) (Рис. 7). При помощи прибора можно вычислить разные значения, касающиеся крутильных колебаний, и построить соответствующие графики.

Рисунок 7. Экспериментальная установка Маятника Поля:

Маятник Поля может рассматриваться как гармонический осциллятор. В зависимости от условий его колебательного движения представляет собой различные типы колебаний. Используется для исследования свободных, вынужденных и хаотических колебаний с различными степенями затухания. Маятник (рис. 8) оснащен кольцом со шкалой в виде щелевых вырезов 1 и указателями на резонаторе 2, а также устройством возбуждения 3. Для возбуждения вынужденных колебаний в комплекте есть электродвигатель 3. Он имеет примерную и точную регулировку скорости вращения 6 и соединен с эксцентриковым колесом 4. Для гашения колебаний используется электромагнитный тормоз 5 на вихревых токах.

Рисунок 8. Маятник Поля (Pohl’spendulum)

Рисунок 9. Детальный вид электродвигателя постоянного тока

Для приведения в действие, к разъему (3) электродвигателя (рис. 9) подключается постоянное напряжение, максимум 24 В. Изменение скорости, а также частота возбуждения, контролируется ручками (1) (грубый) и (2) (точный). Подаваемое на двигатель (4) напряжение, в гнездах может быть измерено. Это напряжение имеет воспроизводимое отношение к скорости двигателя.

Блок питания (рис. 10) имеет два почти непрерывно регулируемые низкие напряжения, один с 100 Гц пульсирующим напряжением 0…20 В постоянного тока/12 А и другой с 0…25В переменного тока/12А. Также доступны два фиксированных напряжения 6 В переменного тока/ макс.6А и 12 В переменного тока/макс 6А.

Рисунок 10. Фронтальный вид регулируемого трансформатора

1 – индикатор лампы Вкл/Выкл; 2 – защитный выключатель при перегрузке по току; 3 – Выход 0 ... 20 В постоянного тока /12 А; 4 – Выход 0 ... 25 В переменного тока / 12 А; 5 – регулировочная ручка со шкалой; 6 – заземление; 7 – Выходы 6 В (7.1) и 12 В (7.2) переменного тока; 8 - защитный выключатель при перегрузке по току.

Техника безопасности:

Внимательно прочитайте указания и используйте аппарат только по назначению.

• Убедитесь, что напряжение питания сети соответствует значениям, указанным на заводской табличке, прикрепленной к инструменту.

• Установите прибор таким образом, чтобы кнопка вкл / выкл и сетевой соединительный штепсель были легко доступны.

• Не закрывайте вентиляционные отверстия.

• Предостерегайтесь от попадания жидкости или других предметов в вентиляционные отверстия.

• Использовать аппарат только в сухих помещениях, в которых нет никакого риска взрыва.

• Не начинайте устанавливать этот инструмент в случае видимых признаков повреждения его корпуса или сетевого шнура.

• используйте прибор только для целей, для которых он предназначен.

Установка эксперимента:

Рисунок 12. Подключение электродвигателя постоянного тока к источнику питания