Примеры решения задач. Тело движется по горизонтальной плоскости без трения под действием силы (F ¾в ньютонах, t ¾ в секундах)

Задача № 1.

Тело движется по горизонтальной плоскости без трения под действием силы (F ¾в ньютонах, t ¾ в секундах). Найдите зависимость скорости и пройденного телом пути от времени, если масса тела равна 3 кг, а начальная скорость была равна нулю.

Решение

Поскольку тело движется по горизонтальной плоскости, то сила тяжести и сила реакции плоскости компенсируют друг друга. Так как сила трения, по условию задачи, равна нулю, то единственной силой, которую следует учитывать при решении задачи, является сила . Из второго закона Ньютона, записанного в проекциях на ось движения OX, следует, что ускорение тела

.

(индекс x в формуле для ускорения a мы писать не стали, так как тело перемещается только вдоль одной прямой). Поскольку сила, действующая на тело, не является постоянной величиной ( ), то и ускорение тела изменяется со временем ( ). Следовательно, движение тела не является равноускоренным и известные всем по школьному курсу физики формулы равноускоренного движения ( , ) для решения задачи использовать нельзя.

Учтем, что ускорение – это первая производная от скорости по времени. Тогда

Þ .

Проинтегрируем левую и правую части последнего равенства:

Þ .

Здесь C₁ – неизвестная постоянная интегрирования. Для ее определения воспользуемся начальными условиями. Согласно условию задачи, в начальный момент времени скорость тела была равна нулю, т. е. при t=0, v=0. Подставляя эти значения в последнее равенство, получим, что C₁=0. Таким образом, искомая зависимость скорости тела от времени имеет вид:

.

Как и следовало ожидать, полученная нами формула для скорости тела отличается от формулы для равноускоренного движения.

Найдем теперь зависимость пройденного телом пути от времени. Учтем, что скорость – это первая производная от пути (перемещения) по времени. Тогда

Þ .

Проинтегрируем левую и правую части последнего равенства:

Þ .

Здесь C₂ – неизвестная постоянная интегрирования. Для ее определения опять воспользуемся начальными условиями. К начальному моменту времени пройденный телом путь был равен нулю, т. е. при t=0, s=0. Подставляя эти значения в последнее равенство, получим, что C₂=0. Таким образом, искомая зависимость пути от времени имеет вид:

Как и следовало ожидать, полученная нами формула для s отличается от формулы для равноускоренного движения.

Рассмотренная нами задача наглядно иллюстрирует характерный для классической механики детерминизм Лапласа. Зная массу тела, силы, действующие на него, а также начальные условия, мы можем однозначно определить положение и скорость тела в любой последующий момент времени. Для этого достаточно воспользоваться найденными в ходе решения задачи формулами для скорости и времени ( , ).

Задача № 2.

Зависимость пройденного телом пути s от времени t выражается уравнением (s ¾в метрах,t ¾ в секундах). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени 2 с пройденный телом путь, скорость, импульс, кинетическую энергию, ускорение и равнодействующую всех сил. Масса тела равна 2кг. Является ли движение тела равномерным? Равноускоренным?