Теоретические сведения. Основу современной физической картины мира составляют две фундаментальные теории – это теория относительности (см

Основу современной физической картины мира составляют две фундаментальные теории – это теория относительности (см. тему № 4) и квантовая теория. Квантовая теория возникла в начале XX столетия в результате изучения ряда явлений и эффектов, которые не смогла объяснить классическая физика. Одним из таких явлений является тепловое излучение тел. Любое тело излучает энергию в виде электромагнитных волн. Это излучение называют тепловым, так как оно осуществляется за счет запасов внутренней (тепловой) энергии тела. При невысоких (комнатных) температурах тела почти вся энергия излучается им в невидимом для человека инфракрасном диапазоне спектра. При температурах T~1000 К заметная доля энергии начинает излучаться телом и в видимом (оптическом) диапазоне электромагнитных волн. Таким образом, в разных диапазонах волн и при различных температурах одно и то же тело излучает различное количество энергии, т. е. его излучательная способность – количество энергии, излучаемой единичной поверхностью тела за единицу времени в единичном интервале длин волн - зависит от длины волны l и температуры T.

Особенности теплового излучения тел удобно рассматривать на примере так называемого абсолютно черного тела (АЧТ), т. е. тела, которое полностью поглощает все падающие на него электромагнитное излучение любой длины волны при любой температуре. В состоянии равновесия температура любого тела должна оставаться постоянной, поэтому любое тело (в том числе и АЧТ!) должно не только поглощать, но и излучать энергию (количество излучаемой и поглощаемой энергии в состоянии равновесия должно быть одинаковым). В XIX веке экспериментальным путем было установлено, что при повышении температуры АЧТ его излучательная способность j(l, T) быстро увеличивается. При этом максимум излучательной способности смещается в сторону более коротких волн (см. графики).

В 1884 году Л. Больцман, используя законы термодинамики (см. тему № 3), теоретически показал, что энергетическая светимость АЧТ должна быть пропорциональна четвертой степени температуры T:

, (1)

где – энергетическая светимость АЧТ, т. е. количество энергии, излучаемой единичной поверхностью АЧТ за единицу времени во всем диапазоне длин волн. Формулу (1) называют законом Стефана-Больцмана, а величину s=5,67 ×10^-8 Вт/(м²×К⁴) - постоянной Стефана-Больцмана (еще до Больцмана, в 1879 году И. Стефан, анализируя экспериментальные данные, пришел к заключению, похожему на формулу (1), поэтому закон (1) и называют законом Стефана-Больцмана). Формула (1) согласуется с экспериментальными данными для j(l, T): рост температуры приводит к увеличению излучательной способности j(l, T) (см. графики), а, следовательно, и к увеличению энергетической светимости (согласно геометрическому смыслу интеграла, энергетическая светимость R_э равна площади под кривой j(l, T)).

В 1893 году В. Вин, используя законы классической электродинамики и термодинамики, показал, что длина волны l_m, на которую приходится максимум излучательной способности j(l, T), обратно пропорциональна температуре T:

, (2)

где b=2,9 ×10^-3 К×м – постоянная. Формулу (2) называют законом смещения Вина. В соответствии с этим законом, увеличение температуры АЧТ приводит к смещению длины волны l_m в область меньших значений, что согласуется с экспериментальными данными (см. графики).

Несмотря на результаты, полученные Больцманом и Вином в рамках классической электродинамики и термодинамики, многочисленные попытки получить теоретически вид самой функции j(l, T) долгое время оставались безуспешными. Лишь в 1900 году М. Планку удалось найти вид функции j(l, T), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать допущение, совершенное чуждое классическим представлениям, а именно предположить, что энергия излучается телом не непрерывно, а наоборот, прерывисто, в виде отдельных порций энергии – квантов энергии, величина которых пропорциональна частоте излучения:

. (3)

Здесь e - энергия одного кванта, - частота излучения, h=6,63×10^-34 Дж×с – постоянная Планка. Допущение Планка о квантовом характере излучения, позволила дать исчерпывающее описание равновесного теплового излучения, в том числе получить установленные ранее законы Стефана-Больцмана и Вина. Следует отметить, что гипотеза Планка о квантах энергии вела к признанию наравне с атомизмом вещества атомизма энергии, т. е. дискретного (квантового) характера электромагнитного излучения, что не укладывалось в рамки представлений классической физики.

Квантовая гипотеза Планка получила дальнейшее развитие, прежде всего в работах А. Эйнштейна. В 1905 году он выдвинул гипотезу о световых квантах. Эйнштейн предположил, что дискретный (квантовый) характер присущ не только процессу испускания света, но и самому свету. Иначе говоря, свет не только излучается, но и распространяется, поглощается в виде квантов с энергией . При этом кванты могут излучаться и поглощаться только целиком, поэтому они представляют собой не просто порции энергии, а частицы света (корпускулы). Эти корпускулы Эйнштейн назвал световыми квантами, теперь их называют фотонами.

Используя гипотезу о световых квантах, Эйнштейн объяснил основные закономерности внешнего фотоэффекта, совершенно непонятные с точки зрения классической физики. Внешний фотоэффект – это испускание электронов веществом под действием света. Это явление было открыто Г. Герцем в 1887 году. Изучение внешнего фотоэффекта показало, что

1. электроны, вылетающие из вещества (металла) под действием света, обладают кинетической энергией, которая зависит от частоты падающего на металл света, и не зависит от его интенсивности;

2. для каждого металла существует так называемая красная граница фотоэффекта – минимальная частота электромагнитной волны (света) n₀, ниже которой фотоэффект не наблюдается даже при достаточно большой интенсивности света.

С точки зрения классических (волновых) представлений сам факт вырывания электронов из металла (фотоэффект) неудивителен. Электрон, поглощая энергию световой волны, может накопить ее в количестве, достаточном для преодоления притягивающего действия положительно заряженных ионов металла и может вылететь из него. Но если свет – это волна, то кинетическая энергия вылетающих электронов должна зависеть от энергии (интенсивности) поглощаемой ими световой волны. Так как интенсивность света не зависит от частоты, то фотоэффект должен наблюдаться при любой частоте световых волн, т. е. никакой красной границы фотоэффекта существовать не должно.

Все трудности в объяснении закономерностей фотоэффекта отпадают, если это явление рассматривать на основе гипотезы о световых квантах. В соответствии с ней падающий на металл свет представляет собой поток фотонов. Электрон металла поглощает фотон целиком (фотоны – это частицы, их нельзя поглощать или излучать по частям) и приобретает всю энергию этого фотона, т. е. . Часть этой энергии электрон затрачивает на то, чтобы преодолеть притяжение ионов металла и выйти из него – совершить работу выхода. Остальная часть поглощенной энергии переходит в кинетическую энергию вылетевшего электрона. Кинетическая энергия электрона будет максимальной, если в процессе выхода из металла он не будет сталкиваться с другими частицами и передавать им часть своей энергии. Таким образом, из закона сохранения энергии следует, что

, (4)

где A – работа выхода электрона из металла, которая зависит от рода металла и состояния его поверхности. Формулу (4) называют формулой Эйнштейна. Из нее следует, что

1. максимальная кинетическая энергия электрона действительно зависит от частоты падающего на металл света и не зависит от его интенсивности. Это обусловлено тем, что электрон поглощает лишь один фотон, энергия которого зависит только от частоты;

2. фотоэффект не наблюдается, если энергии поглощенного электроном фотона недостаточно для выхода из металла, т. е. если . Следовательно, существует красная граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота , ниже которой фотоэффект не наблюдается. Минимальной частоте n₀ соответствует максимальная длина волны

(5)

Эту максимальную длину волны также называют красной границей фотоэффекта. Точная экспериментальная проверка формулы Эйнштейна была осуществлена Ричардсоном и К. Комптоном в 1912 году, а более тщательно – Р. Милликеном в 1916 году. Обе работы подтвердили формулу (4). За работы по фотоэффекту Эйнштейну была присуждена Нобелевская премия в 1921 году.

В 1922 году А.Комптон открыл явление, которое, как и фотоэффект, подтверждает гипотезу о фотонах. Он обнаружил, что при прохождении через вещество электромагнитное излучение начинает рассеиваться (отклоняться от первоначального направления распространения), при этом длина волны рассеянного излучения оказывается больше длины волны lпадающего на вещество излучения ( ). Явление, заключающееся в изменении длины волны электромагнитного излучения в процессе рассеянии его веществом, называют эффектом Комптона. Согласно классической физике, рассеяние электромагнитных волн веществом не должно приводить к изменению их длины волны, т. е. должно выполняться равенство . Таким образом, классическая физика не могла объяснить эффект Комптона.

Все встает на свои места, если электромагнитное излучение рассматривать не как волну, а как поток частиц – фотонов. Так как фотоны всегда движутся со скоростью света (фотоны – это частицы света), то согласно СТО (см. тему № 4, формулу (13)) они должны обладать импульсом , где – энергия фотона. Так как частота , то получается, что импульс фотона зависит от длины волны:

(6)

В процессе рассеяния электромагнитного излучения веществом, фотоны сталкиваются с внешними (валентными) электронами атомов вещества и передают им часть своего импульса и энергии (можно считать, что электрон поглощает фотон с одной энергией и импульсом и практически сразу излучает другой фотон, но уже с меньшими энергией и импульсом). В результате импульс фотона изменяется по модулю и по направлению - фотон отклоняется на угол от своего первоначального направления, т. е. рассеивается – см. рис. Так как импульс фотона после рассеяния меньше импульса фотона до рассеяния (часть импульса была передана от фотона электрону – см. рис.), то получается, что . Используя законы сохранения энергии и импульса, можно доказать, что:

, (7)

т. е. разность длин волн рассеянного и падающего на вещество излучения зависит лишь от угла рассеяния . Формула (7) полностью согласуется с экспериментальными данными. В ней m_e=9,1×10^-31 кг – масса электрона. Величину пм называют комптоновской длиной волны электрона. Эффект Комптона имеет место в любом диапазоне электромагнитных волн, но наиболее он заметен в коротковолновом рентгеновском диапазоне, когда длина волны падающего на вещество излучения по порядку величины равна l_c: .

Из рассмотренных здесь и ранее световых явлений следует, что свету (и вообще электромагнитному излучению) присущ корпускулярно-волновой дуализм (дуализм – значит двойственность). В одних явлениях (интерференция, дифракция – см. тему № 2) свет ведет себя как электромагнитная волна, т. е. проявляет свои волновые свойства. В других случаях (тепловое излучение тел, фотоэффект, эффект Комптона) свет ведет себя как поток частиц – фотонов, т.е. проявляет свои корпускулярные свойства. В 1924 году Л. де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только электромагнитному излучению, но и частицам материи (электронам, атомам, молекулам и т. д.). Согласно гипотезе де Бройля, любая микрочастица должна вести себя как какая-то волна (сам де Бройль ничего не говорил о физической природе этих волн) и описываться некоторой функцией Y. Волны, связанные с движущимися микрочастицами, и описываемые функциями Y, отражающими квантовую природу микрочастиц, называют волнами материииливолнами де Бройля. Саму функцию Y называют волновой функцией микрочастицы.Длина волны l и частота n волн материи, согласно гипотезе де Бройля, зависят от импульса p и энергии e микрочастицы: , (ср. с формулами (3) и (6) для фотонов). В 1927 году гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально – Л. Джермер и К. Дэвиссон наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля (дифракция – это явление, которое можно объяснить волновой природой дифрагирующих объектов (в данном случае электронов), см., например, дифракцию света – тема № 2). В 1928 году Д.П. Томсон и независимо от него П.С. Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу (см. рис.). Экраном для наблюдения дифракции служила фотопластинка, так как электрон при ударе о фотопластинку оказывает на нее такое же воздействие, как и свет. Электроны, ускоренные электрическим полем, проходили сквозь фольгу и дифрагировали – отклонялись от первоначального направления с образованием в одних местах фотопластинки максимумов, а в других местах минимумов интенсивности. Полученная с помощью электронов дифракционная картина была полностью аналогична дифракционной картине, полученной с помощью обычных электромагнитных (рентгеновских) волн. Позднее ученые наблюдали дифракцию и других микрочастиц (атомов, молекул, нейтронов, протонов). Во всех случая гипотеза де Бройля была полностью подтверждена – при дифракции микрочастицы вели себя как волны с длиной волны . Согласно СТО, импульс микрочастицы равен: (см. тему № 3, формулу (7)), поэтому получается, что

. (8)

При небольших скоростях движения микрочастиц (v<<c) можно считать, что

. (9)

Здесь m – массы, а v – скорость микрочастицы. Величину l, определяемую формулами (8) или (9), называют длиной волны де Бройля микрочастицы.

После экспериментального подтверждения гипотезы де Бройля возник вопрос о физической природе волн материи и связанных с ними волновых функций Y. Учеными были высказаны различные идеи. Одна из таких идей, которой, в частности, недолгое время придерживался Э. Шредингер, состояла в следующем. Никакого дуализма волн и частиц в действительности не существует. Существуют только волны. Частицы же представляют собой лишь волновой пакет, т. е. наложение множества волн друг на друга. Эти волны способны усиливать друг друга в какой-то малой области пространства (в центре волнового пакета), а вне этой области происходит их полное гашение. Центр волнового пакета и представляет собой частицу. В рамках такой модели интенсивность волновой функции рассматривалась как величина, пропорциональная плотности среды, из которой состоит частица. Однако вскоре выяснилось, что волновой пакет не может вести себя как частица долгое время. С течением времени он должен расплываться в пространстве. Таким образом, частица, если бы она представляла собой центр волнового пакета, была бы неустойчива и быстро распадалась бы. Это ни в коей мере не соответствует действительности.

Существовала и противоположная точка зрения, согласно которой первичными являются не волны, а частицы. Волновые свойства, согласно этой точке зрения, отдельным частицам не присущи. Они появляются лишь тогда, когда приходится иметь дело с огромным числом частиц, подобно тому, как звуковая волна представляет собой колебания сразу большого числа молекул воздуха. Однако прямыми опытами было доказано, что волновые явления (дифракция, интерференция) наблюдаются и тогда, когда приходится иметь дело не с целым пучком частиц, а с отдельными микрочастицами.

Таким образом, остается принять точку зрения, согласно которой всем микрочастицам (фотонам, электронам, нейтронам, протонам, атомам, молекулам и т. д.) присущи одновременно и корпускулярные и волновые характеристики. При этом в одних условиях микрочастица проявляет свои корпускулярные свойства, а в других – волновые свойства.

В классической физике вещество и поле абсолютно противопоставлялись друг другу как две различные формы материи (см. тему № 2). Корпускулярно-волновой дуализм в определенной мере устраняет это разделение, поскольку каждый материальный объект сочетает в себе как свойства частиц (вещества), так и свойства волн (поля).

Чтобы совместить друг с другом корпускулярные и волновые свойства микрочастицы, М. Борном еще в 1926 году была предложена статистическая (вероятностная) интерпретация волн де Бройля и связанных с ними волновых функций Y. Эта интерпретация принята и в настоящее время. Согласно статистической интерпретации, сама волновая функция Y никакого физического смысла не имеет (функция Y,как правило,является комплексной функцией координат и времени, а комплексные функции содержат мнимую единицу и никакого реального смысла иметь не могут). Однако физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции , где Y^*-функция, комплексно сопряженная с волновой функцией Y.Согласно статистической интерпретации, значение квадрата модуля волновой функции в каком-то месте пространства пропорционально вероятности обнаружить микрочастицу в этом месте пространства. Так как в соответствии с интерпретацией Борна движение микрочастиц носит вероятностный характер, то мы не можем указать однозначно положение микрочастицы в любой момент времени (мы можем указать лишь вероятность того, что микрочастица находится в интересующей нас области пространства). Такое положение вещей приводит к тому, что понятие «траектория движения» для микрочастицы теряет свой смысл. Например, нельзя утверждать, что электрон в атоме движется по определенной траектории, так как для построения траектории движения необходимо однозначно указать положение электрона в атоме в различные моменты времени. Таким образом, квантовая теория, в отличие от классической механики и классической электродинамики не является динамической теорией, позволяющей однозначно указать состояние системы в любой момент времени. Квантовая теория, как и кинетическая теория газов (см. тему № 3), относится к статистическим теориям, которые позволяют найти лишь вероятности тех или иных событий, относящихся к отдельным частицам (например, найти вероятность обнаружения электрона в той или иной области пространства).

Используя статистическую интерпретацию волн де Бройля и связанных с ними волновых функций Y, можно объяснить наличие у микрочастиц волновых свойств и, в частности, объяснить дифракцию электронов при прохождении через металлическую фольгу. В какое место фотопластинки попадет отдельный электрон, с достоверностью указать невозможно; это можно сделать только с той или иной степенью вероятности (вероятность попадания электрона в интересующее нас место фотопластинки пропорционально квадрату модуля его волновой функции в этом месте). Отдельный электрон оставляет на фотопластинке (после ее проявления) пятнышко. Если электронов мало, то фотопластинка будет напоминать мишень, простреленную небольшим количеством пуль. В расположении пятнышек на фотопластинке не обнаружится никакой закономерности. Закономерность выявится статистически, т. е. когда на фотопластинку попадет очень много электронов. Дифракционные максимумы на фотопластинке окажутся в тех местах, куда чаще попадают электроны, т. е. туда, где большее значение имеет квадрат модуля волновой функции электрона. Пока электрическое отталкивание между электронами мало, дифракционная картина получается одной и той же независимо от того, образуется ли она электронами, поодиночке проходящими через металлическую фольгу, или сразу интенсивным пучком одинаково ускоренных электронов, в котором содержится то же число частиц.

Из сказанного следует, что в квантовой теории основной функцией, описывающей состояние микрочастицы, ее корпускулярные и волновые свойства, является волновая функция Y. Зная ее, можно найти вероятность обнаружения микрочастицы в интересующей нас области пространства, а также определить значения некоторых измеримых величин (например, энергии микрочастицы). Волновую функцию микрочастицы находят, решая основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, которое называют уравнением Шредингера. Это уравнение можно представить в виде:

, (10)

Здесь Дж×с – постоянная Планка, - мнимая единица - оператор полной энергии, который, как и сама волновая функция Y, не имеет физического смысла и не является наблюдаемой величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте. Уравнение (10) было предложено Э. Шредингером в 1926 году и играет в квантовой механике такую же фундаментальную роль, как второй закон Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в классической электродинамике. Если известна волновая функция микрочастицы в некоторый начальный момент времени, то с помощью уравнения (10) можно найти волновую функцию в любой последующий момент времени t , а затем уже определить вероятность обнаружения микрочастицы в интересующей нас области пространства (а не точное ее положение). В этом заключается особенность принципа причинности в квантовой механике.

Сердцевиной квантовой механики является принцип неопределенности. Он был сформулирован в 1927 году В.Гейзенбергом. Принцип неопределенности связан с процедурой измерения характеристик микрочастиц, которая, как выяснилось, радикально отличается от процедуры измерения в классической механике. Вследствие того, что сведения о микрочастице, ее измеримых в опыте характеристиках получают в результате взаимодействия микрочастицы с классическим прибором (макрообъектом), микрочастицу можно интерпретировать только в классических понятиях, т. е. использовать классические представления о волне и о частице. Мы как бы вынуждены говорить на классическом языке, хотя с его помощью нельзя выразить все особенности микрочастицы, которая не является классическим объектом. На самом деле микрочастица (например, электрон) имеет корпускулярно-волновую природу, ее состояние определяется неизмеряемой в опыте волновой функцией Y. Микрочастица с той или иной вероятностью может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой ее волновая функция отлична от нуля. Микрочастица как бы «размазана» в пространстве. Попытка уточнить положение (координаты) микрочастицы в процессе измерения неизбежно ведет к потере точности в измерении ее импульса, и наоборот. Например, можно измерить положение электрона в процессе его взаимодействия с потоком фотонов. Но при определении положения электрона фотон дает погрешность, равную длине его волны l. Поэтому для более точного измерения координат (положения) электрона необходимо использовать фотоны с малой длиной волны l, а, значит, с большим импульсом . Такие фотоны в процессе взаимодействия с электроном способны сильно изменить его импульс, т. е. внести большую погрешность в импульс электрона. Если же использовать фотоны с малой длиной волны, то это приведет к уменьшению точности в измерении координат электрона. Невозможность одновременного точного измерения координат и импульса микрочастицы и нашла свое отражение в соотношении неопределенностей, которое имеет вид:

, (11)

где Dx – неопределенность координаты x (т. е. погрешность, с которой можно измерить координату x микрочастицы); Dp_x – неопределенность проекции импульса p_x (т. е. погрешность, с которой можно измерить проекцию импульса p_x этой же микрочастицы). В формуле (11) значения Dx и Dp_x относятся к одному и тому же моменту времени. Увеличение точности в измерении координаты x (т. е. уменьшение Dx), согласно (11), ведет к уменьшению точности в измерении проекции импульса p_x (к увеличению Dp_x), и наоборот.

Вообще, как показывает анализ поведения микрочастицы, попытка уточнить одни ее характеристики неизбежно ведет к потере точности в измерении других ее характеристик. Поэтому существует целое множество соотношений неопределенностей, аналогичных формуле (11), для различных пар физических величин. Например, для энергии e и времени t справедливо неравенство:

. (12)

Подводя итог, можно констатировать, что квантовая механика существенно отличается и от классической механики и от релятивистской физики по многим параметрам. Среди них: исключительная абстрактность квантово-механических формализмов (оператор полной энергии и волновая функция Y не являются наблюдаемыми величинами и не имеют физического смысла), необходимость интерпретации этих формализмов, вероятностно-статистический характер описания, замена динамических закономерностей статистическими, отсутствие понятия траектория, активная роль измерительного прибора, выделяющего микрообъект как волну или как частицу и др. Между тем, за относительно короткое время квантовая механика нашла применение при решении большого круга не только теоретических, но и практических задач. Прежде всего это касается объяснения строения атомов и молекул, Периодической системы элементов, химической связи. Квантовая теория способствовала созданию теорий твердого тела, сверхтекучести, сверхпроводимости и т. д. В дальнейшем квантовая теория стала базой для ядерной физики и физики элементарных частиц, квантовой электроники и др.