Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Дифференциал функции




Читайте также:
  1. Foreign Office – структура, функции…..
  2. III. Вегетативные функции НС.
  3. III. Функции полномочного представителя
  4. Internet, его функции. Web-броузеры. Поиск информации в Internet.
  5. SQL-функции
  6. Автоматизированное рабочее место. Его состав, функции, аппаратное и программное обеспечение.
  7. Агрегирующие функции языка SQL
  8. Адгезивные молекулы и их основные функции
  9. Аддитивный метод с дифференциальным травлением
  10. Акцизы,их роль и функции в налоговой системе. Понятие налогоплательщиков для целей исчесления акцизов.Понятие подакцихных товаров.

Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции , которая отличается от приращения на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем , и обозначается .

.

Таким образом, зная производную функции, можно найти ее дифференциал по формуле и, обратно, зная дифференциал функции, можно найти ее производную по формуле

Пример. Найти дифференциал функции

Решение:

.

 


Формулы дифференцирования:

Элементарных функций Сложных функций
 
 
 

 

Лекция 7. Исследование функции с помощью производной

Признак монотонности функции:

Если для любых x1, х2 из условия x1< х2 следует неравенство f(x1)<f( х2) ( f(x1)>f( х2)), то функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке .

Рис.7.1. Возрастающая функция Рис.7.2. Убывающая функция

Теорема 1.Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей на интервале , достаточно, чтобы во всех точках выполнялось равенство:

Теорема 2.Для того чтобы дифференцируемая функция была убывающей на интервале , достаточно, чтобы во всех точках выполнялось равенство:

Отыскание точек локального экстремума функции:

Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если существует некоторая окрестность этой точки, в которой для всех x выполняется неравенство при .

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

Теорема 3 (необходимое условие локального экстремума).Если функция f(x) имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f(x0)=0.

Точки, в которых производная функции равна нулю, принято называть точками возможного экстремума (стационарные точки).

Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума).Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Тогда если f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с «+» на «-», то x0 - точка локального максимума, если f '(x) в точке x0 меняет знак с «-» на «+», то - точка локального минимума, если же знак f '(x) в точке x0 не изменяется, то в точке экстремума не существует.



Направление выпуклости и точки перегиба графика функции:

График функции f '(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала (a, b) график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b).

Теорема 5.Если функция f '(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и во всех точках (a, b), то график функции имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Точка M(x0; f(x0)) называется точкой перегибаграфика функции f '(x),если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределах которого график функции слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.

Теорема 6 (необходимое условие точки перегиба).Пусть график функции f '(x) имеет перегиб в точке M(x0; f(x0)) и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f"(x0) в точке x0 обращается в нуль, т.е. f"(x0)=0.

Точки M(x0; f(x0)) графика, для которых f"(x0)=0, называются критическими.



Теорема 7 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб в точке М .

Пример:Указать, каким условиям удовлетворяет график функции.

Решение:

- график функции расположен выше оси ОХ

– график функции возрастает

- график функции выпуклый

 

- график функции расположен ниже оси ОХ

– график функции убывает

- график функции вогнутый

Пример:Исследовать функцию с помощью первой и второй производной.

y = 2 - 3x + x3

Решение:

1) D(f): x R

2)

3) Исследуем функцию с помощью первой производной:

А) приравниваем производную к нулю

, тогда - критические точки первого рода

Б

x
+
_
+
  -1 1 max min
  Знак f ‘(x) Поведение f(x)   Поведение f(x)  
) Определим знак производной на интервалах

 

на этом интервале возрастает

на этом интервале убывает

на этом интервале возрастает

Т.к. при переходе через x1 = -1 производная меняет знак с «+» на «-» x1 = -1 - точка максимума, а при переходе через x2 = 1 производная меняет знак с «-» на «+» x2 = 1 – точка минимума.

Найдём значение функции в этих точках:

f max(-1) = 2-3(-1) + (-1)3 = 2 + 3 – 1 = 4

f min(1) = 2 - 3 1+13 = 2 – 3 + 1 = 0

Тогда, max(-1;4) ; min(1;0)

при - функция возрастает

при x Î (-1;1) - функция убывает

4) Исследуем с помощью второй производной (на выпуклость, вогнутость и точки перегиба):

найдём :



А)

Б) приравняем (вторую производную к нулю)

6x = 0

x = 0 - критическая точка второго рода

В) определим знаки второй производной на интервалах

Знак f ‘’ (x) - + Поведение х f(x) 0

 

график выпуклый

график вогнутый

x = 0 – точка перегиба

Тогда:

На интервале хÎ - график выпуклый

На интервале хÎ(0;+ - график вогнутый

(0;2) - точка перегиба

5) Построим график данной функции: y = 2 - 3x + x3

 

Лекция 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА


Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 26; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.056 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты