![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференциал функцииДифференциалом функции
Таким образом, зная производную функции, можно найти ее дифференциал по формуле
Пример. Найти дифференциал функции Решение:
Формулы дифференцирования:
Лекция 7. Исследование функции с помощью производной Признак монотонности функции: Если для любых x1, х2
Рис.7.1. Возрастающая функция Рис.7.2. Убывающая функция Теорема 1.Для того чтобы дифференцируемая функция Теорема 2.Для того чтобы дифференцируемая функция Отыскание точек локального экстремума функции: Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если существует некоторая окрестность этой точки, в которой для всех x выполняется неравенство Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум. Теорема 3 (необходимое условие локального экстремума).Если функция f(x) имеет в точке Точки, в которых производная функции равна нулю, принято называть точками возможного экстремума (стационарные точки). Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума).Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Тогда если f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с «+» на «-», то x0 - точка локального максимума, если f '(x) в точке x0 меняет знак с «-» на «+», то Направление выпуклости и точки перегиба графика функции: График функции f '(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала (a, b) график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b). Теорема 5.Если функция f '(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и Точка M(x0; f(x0)) называется точкой перегибаграфика функции f '(x),если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределах которого график функции слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости. Теорема 6 (необходимое условие точки перегиба).Пусть график функции f '(x) имеет перегиб в точке M(x0; f(x0)) и пусть функция имеет в точке Точки M(x0; f(x0)) графика, для которых f"(x0)=0, называются критическими. Теорема 7 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функция
Решение:
Пример:Исследовать функцию с помощью первой и второй производной. y = 2 - 3x + x3 Решение: 1) D(f): x 2) 3) Исследуем функцию с помощью первой производной: А)
Б
Т.к. при переходе через x1 = -1 производная меняет знак с «+» на «-» Найдём значение функции в этих точках: f max(-1) = 2-3(-1) + (-1)3 = 2 + 3 – 1 = 4 f min(1) = 2 - 3 Тогда, max(-1;4) ; min(1;0) при при x Î (-1;1) - функция убывает 4) Исследуем найдём А) Б) приравняем 6x = 0 x = 0 - критическая точка второго рода В) определим знаки второй производной на интервалах
x = 0 – точка перегиба Тогда: На интервале хÎ На интервале хÎ(0;+ (0;2) - точка перегиба 5) Построим график данной функции: y = 2 - 3x + x3
Лекция 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
|