КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Дифференциал функции
Дифференциалом функции 
называется линейная часть приращения функции 
, которая отличается от приращения 
на бесконечно малую величину 
более высокого порядка, чем 
, и обозначается 
.
.
Таким образом, зная производную функции, можно найти ее дифференциал по формуле 
и, обратно, зная дифференциал функции, можно найти ее производную по формуле
Пример. Найти дифференциал функции 
Решение:
.
Формулы дифференцирования:
| Элементарных функций | Сложных функций |
| |
| |
| |
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Лекция 7. Исследование функции с помощью производной
Признак монотонности функции:
Если для любых x1, х2 
из условия x1< х2 следует неравенство f(x1)<f( х2) ( f(x1)>f( х2)), то функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке 
.
Рис.7.1. Возрастающая функция Рис.7.2. Убывающая функция
Теорема 1.Для того чтобы дифференцируемая функция 
была возрастающей на интервале 
, достаточно, чтобы во всех точках выполнялось равенство: 
Теорема 2.Для того чтобы дифференцируемая функция была убывающей на интервале , достаточно, чтобы во всех точках выполнялось равенство: 
Отыскание точек локального экстремума функции:
Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если существует некоторая окрестность этой точки, в которой для всех x выполняется неравенство 
при 
.
Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.
Теорема 3 (необходимое условие локального экстремума).Если функция f(x) имеет в точке 
локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f(x0)=0.
Точки, в которых производная функции равна нулю, принято называть точками возможного экстремума (стационарные точки).
Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума).Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Тогда если f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с «+» на «-», то x0 - точка локального максимума, если f '(x) в точке x0 меняет знак с «-» на «+», то 
- точка локального минимума, если же знак f '(x) в точке x0 не изменяется, то в точке 
экстремума не существует.
Направление выпуклости и точки перегиба графика функции:
График функции f '(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала (a, b) график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b).
Теорема 5.Если функция f '(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и 
во всех точках (a, b), то график функции имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Точка M(x0; f(x0)) называется точкой перегибаграфика функции f '(x),если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределах которого график функции слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.
Теорема 6 (необходимое условие точки перегиба).Пусть график функции f '(x) имеет перегиб в точке M(x0; f(x0)) и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f"(x0) в точке x0 обращается в нуль, т.е. f"(x0)=0.
Точки M(x0; f(x0)) графика, для которых f"(x0)=0, называются критическими.
Теорема 7 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функция 
имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда если в пределах указанной окрестности 
имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб в точке М 
.
Пример:Указать, каким условиям удовлетворяет график функции.
Решение:
- график функции расположен выше оси ОХ
– график функции возрастает
- график функции выпуклый
- график функции расположен ниже оси ОХ
– график функции убывает
- график функции вогнутый
Пример:Исследовать функцию с помощью первой и второй производной.
y = 2 - 3x + x3
Решение:
1) D(f): x 
R
2) 
3) Исследуем функцию с помощью первой производной:
А) 
– приравниваем производную к нулю
, тогда 
- критические точки первого рода
Б
| x |
| + |
| _ |
| + |
| -1 1 max min |
| Знак f ‘(x) Поведение f(x) Поведение f(x) |
на этом интервале возрастает
на этом интервале убывает
на этом интервале возрастает
Т.к. при переходе через x1 = -1 производная меняет знак с «+» на «-» 
x1 = -1 - точка максимума, а при переходе через x2 = 1 производная меняет знак с «-» на «+» x2 = 1 – точка минимума.
Найдём значение функции в этих точках:
f max(-1) = 2-3(-1) + (-1)3 = 2 + 3 – 1 = 4
f min(1) = 2 - 3 
1+13 = 2 – 3 + 1 = 0
Тогда, max(-1;4) ; min(1;0)
при 
- функция возрастает
при x Î (-1;1) - функция убывает
4) Исследуем 
с помощью второй производной (на выпуклость, вогнутость и точки перегиба):
найдём 
:
А) 
Б) приравняем 
(вторую производную к нулю)
6x = 0
x = 0 - критическая точка второго рода
В) определим знаки второй производной на интервалах
| Знак f ‘’ (x) - + Поведение х f(x) 0 |
график выпуклый
график вогнутый
x = 0 – точка перегиба
Тогда:
На интервале хÎ 
- график выпуклый
На интервале хÎ(0;+ 
- график вогнутый
(0;2) - точка перегиба
5) Построим график данной функции: y = 2 - 3x + x3
Лекция 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 181; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |