![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференциальные уравнения первого порядкас разделяющимися переменными: А) Если в дифференциальном уравнении y′=f(x,y) функция f(x,y) может быть представлена в виде: Его решение (интегрирование) проводится по следующему алгоритму: 1. Представим 2. Разделить переменные: 3. Проинтегрировать обе части равенства:
где С – произвольная постоянная. Это общий интеграл уравнения, входящие в него неопределенные интегралы находятся методами, рассматриваемыми в интегральном исчислении.
Б) Если дифференциальное уравнение записано в виде:
то это уравнение с разделяющимися переменными, если
Интегрирование уравнения производится так:
Считая
Интегрируя обе части получим:
Заметим, при разделении переменных могут быть «потерянные» решения, которые в некоторых случаях будут особыми решениями.
Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Так как Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные (у – влево, х - вправо) и получим: Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения: Рассмотрим решение каждого из интервалов отдельно: Тогда, получим Ответ:
Пример: Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию
Решение: Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения: Рассмотрим решение каждого из интервалов отдельно: Тогда, получим
Чтобы найти частное решение ДУ надо найти значение С при условии, что Тогда частное решение ДУ имеет вид: Ответ:
|