Степенные ряды. Ряд , члены которого функции от x, называется функциональным.

Ряд , члены которого функции от x, называется функциональным.

Совокупность значений х, при которых функции , , ,…, определены и ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

Функциональный ряд вида , где , , , …, , - действительные числа, называется степенным.

При степенной ряд имеет вид:

Разложение функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция f(x) есть многочлен n –ной степени, т.е.

Коэффициенты a₀, a₁, a₂, . . . a_n находим из соотношения:

. . . . . . . . .

Тогда, формула Тейлора будет иметь вид:

При получим формулу Маклорена для многочленов:

Пример. Составить ряд Тейлора для функции в окрестности точки х₀ = 3.

Решение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Тогда ряд Тейлора имеет вид: