![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов
Пусть задана бесконечная последовательность чисел Выражение Член Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда. Рассмотрим частичные суммы: Если существует конечный предел Если Теорема.(Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходиться, то его n-й член стремиться к нулю при неограниченном возрастании n, то есть Следствие.Если n-й член ряда не стремиться к нулю ( Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, то есть из того, что n-й член ряда стремиться к нулю, еще не следует, что ряд сходится – ряд может и расходиться. Достаточные признаки сходимости числовых рядов: Теорема.(Признак сходимости Даламбера). Если для числового ряда с положительными членами
Теорема.(Признак Коши). Если для числового ряда с положительными членами
Теорема.(Интегральный признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами Таким образом, если
Пример: Записать ряд в развернутой форме a1 + a2 + … + an + … , если задан общий член Решение:
Таким образом, получим
Пример:Определить сходимость числового ряда Решение.Воспользуемся необходимым признаком сходимости ряда. Для данного числового ряда записываем формулу общего члена Так как предел не равен нулю, то исходный ряд расходится. Пример: Используя признак Даламбера исследовать ряд Решение:
Пример: Используя радикальный признак Коши исследовать ряд Решение:
следовательно, ряд расходится.
Пример 5:Используя интегральный признак Коши исследовать ряд
Решение: так как интеграл не существует, то ряд расходится.
|