Комплексные числа. Понятие комплексного числа.

Понятие комплексного числа.

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее необходимость выполнения вычитания к понятию нуля и отрицательных чисел, наконец, извлечение корня из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Остались и невыполненные операции, например, извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Возникает новое понятие – мнимая единица, т.е. . Это такое число, квадрат которого равен -1, т.е. В технической литературе применяют обозначение . Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой. Между ними существует взаимно-однозначное соответствие. На координатной прямой «нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Поэтому естественно в качестве новых чисел – их называют комплексными – ввести упорядоченные пары действительных чисел.

Комплексным числом называется выражение вида z = х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, i² = — 1.

Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число х +i0= х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R C

Число х называется действительной частью комплексного чи­сла z и обозначается х = Re z, а у — мнимой частью z, у = .

Два комплексных числа и называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части , - В частно­сти, комплексное число z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х = у = 0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z = х + iy и = х — iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Решение квадратного уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение . Из школьного курса математики известно:

А) если дискриминант уравнения положителен >0, то уравнение имеет два различных действительных корня:

Б)если D=0, то корни совпадают ,

В) если D<0,тодействительных корнейнет.

Покажем, что в случае отрицательного дискриминанта уравнение имеет два различных комплексных корня.

Вначале рассмотрим уравнение:

Уравнение имеет корни: . Получили мнимые корни.

Можно извлекать корни, например,

Решим уравнение

Пример. Решить уравнение

Решение: