Неопределенный интеграл и его свойства

Имея функцию, можно по известным правилам найти ее производную, то есть продифференцировать. Это имеет большое практическое значение: нахождение скорости, ускорения, уголовного коэффициента касательной и т.п.

Однако часто приходится решать обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что или .

Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Функцию F(x) называют первообразной для f(x).

Пример 1.Найти первообразную для функции .

Такой первообразной является функция , так как . Но это не единственная первообразная для . Также подойдут: , и вообще , где С – произвольная постоянная, потому что .

Пример 2.Найти первообразную для функции .

Первообразной для функции будет , так как .

Пример 3. Найти первообразную для функции .

Первообразной для функции будет , так как .

Определение 1. Функция F(x) + C называется первообразной для функции f(x), если выполняется условие .

Определение 2. Множество первообразных F(x)+С, соответствующих данной функции f(x), называют неопределённым интегралом и обозначают символом

Можно записать: , где - подынтегральное выражение,

- знак неопределённого интеграла,

С – постоянная интегрирования.

Основные свойства неопределённого интеграла

1.Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

2.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

3.Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из них

Таблица неопределенных интегралов

	, если n≠1

Пример 1.Найти

Решение: по свойству (2) и по формуле (2) получим:

Пример 2.Найти

Решение: применяя свойства (2) и (3), затем формулы (2) и (1), получим:

Примечание. Здесь С является алгебраической суммой четырех произвольных постоянных для каждого интеграла.

Пример 3. Найти

Решение: