II. (Теорема Больцано-Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке и её значения на концах отрезка имеют различные знаки, то найдется точка на отрезке , в которой обращается в нуль.

Доказательство:(теоремы Больцано-Вейерштрасса)

Разделим отрезок пополам точкой . Если , то теорема доказана. Если же , то на одной из половин или функция принимает на концах значения различных знаков. Пусть для определенности , , , тогда такой половиной будет отрезок . Этот отрезок снова разделим пополам точкой и повторим проведенное рассуждение. В результате либо мы найдем точку, в которой обращается в нуль, либо получим стягивающуюся систему отрезков (1) с таким свойством: в точках функция отрицательна, а в точках - положительна.

По теореме 6 о стягивающейся системе отрезков найдется точка , общая для всех отрезков системы (1): . Покажем, что в этой точке функция обращается в нуль. Предположим, что , но и с одной стороны для из -окрестности точки (по лемме), а с другой стороны по условию. Полученное противоречие доказывает, что невозможно. Аналогично доказывается, что невозможно. Отсюда делаем вывод, что .