Классификация точек разрыва разрывных функций

Рассмотрим графики функций: (Рис. 36), (Рис. 37), (Рис. 38). Мы видим, что в каждом случае график функции состоит из двух кусков, значит, рассматриваемые функции не являются непрерывными.

Определение 75.

Таким образом, - точка разрыва функции ; - точка разрыва функции и - точка разрыва функции .

Но характер разрывов в этих трех случаях существенно отличается друг от друга. Действительно, хотя функция - не определена в точке , но существуют оба односторонних предела при и они равны между собой. Легко устранить такой разрыв, доопределив функцию так: .

Определение 76.Точка называется точкой разрыва I рода (разрыв функции устранимый), если в этой точке существуют оба односторонних предела и они равны между собой: .

Определена ли функция в этой точке – не важно, но если определена, то значение функции в этой точке не совпадает с пределом функции в этой точке.

Функция (рис. 37), не определенная при , имеет оба односторонних предела при ; . Как видно, они не равны между собой. Такой разрыв устранить невозможно.

Определение 77.Точка называется точкой разрыва I рода (разрыв неустранимый) функции , если в этой точке существуют оба односторонних предела, но они не равны между собой .

Определение 78.Разность называется скачком функции и обозначается буквой .

Таким образом, если в точке разрывная функция имеет конечный скачок , то в этой точке функция имеет разрыв I рода; разрыв является устранимым, если , и неустранимым в противном случае.

Функция имеет в точке разрыв I рода, неустранимый, скачок .

Определение 79.Точка называется точкой разрыва II рода функции , если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Пример 84.Функция при не имеет предела ни слева: , ни справа , поэтому - точка разрыва II рода функции .

Пример 85.Функция непрерывна при всех , при которых , если - простой корень многочлена , но , то - точка разрыва II рода функции , а если , то - точка разрыва I рода (разрыв устранимый).

Функция может иметь разрыв и в случае, когда она задается на разных участках разными аналитическими выражениями. В этом случае «точки стыка» могут быть точками нарушения непрерывности.

Пример 86.Функция задана следующим образом . Исследовать эту функцию на непрерывность.

Решение. Функция - непрерывна при , функция непрерывна при . В точке функция не определена, но ; . Значит, эта функция разрывная при , точка разрыва I рода, разрыв неустранимый, скачок .

Отметим, что точки разрыва II рода часто связаны с вертикальными асимптотами для графика функции .

Пример 87.Исследовать на непрерывность функцию и схематически построить ее график.

Решение: рассмотрим ; функция разрывна при и при .

При - не существует, значит, в этой точке разрыв II рода.

Рассмотрим функцию ; она имеет горизонтальную асимптоту и вертикальную асимптоту .