![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные определения. Наглядные представления о непрерывности функции есть у всех, кто строил графики функций: если можно нарисовать график функцииНаглядные представления о непрерывности функции есть у всех, кто строил графики функций: если можно нарисовать график функции, заданной на некотором множестве, не отрывая карандаша от бумаги, то на этом множестве данная функция непрерывна. Или другими словами: если величины Введем понятие приращение аргумента и приращения функции: Определение 70.Функцию 1) она определена в точке 2) для любого сколь угодно малого положительного числа Краткая запись: ( Воспользуемся определением предела функции в точке; получим: Определение 71.Функцию ( Из Определение 71 следует замечательное свойство непрерывной функции: Если обратиться к необходимому и достаточному условию существования предела функции в точке, получим: Определение 72.Функцию 1) она определена в точке 2) в этой точке существуют оба односторонних предела 3) они равны между собой: 4) они равны значению функции в этой точке Воспользуемся определением 1 и понятиями приращения аргумента и приращения функции, получим: Определение 73.Функция ( Все четыре определения непрерывности функции в точке равносильны между собой, но используются в различных ситуациях: Определение 70, Определение 71, и Определение 73 для доказательства непрерывности функции в точке, а Определение 72 – для классификации точек разрыва функций. Пример 77.Докажите, что функция Доказательство:воспользуемся Определение 71 и рассмотрим Пример 78.Докажите, что линейная функция Доказательство:пусть Определение 74.Функция Мы уже доказали, что линейная функция
|