Основные определения. Определение 64. Любой интервал, содержащий точку , называется окрестностью точки

Определение 64.

Пусть функция определена в некоторой выколотой окрестности точки .

Определение 65.Число называется пределом функции при , стремящимся к (или в точке ), если для любого положительного числа найдётся такое положительное число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

Обозначение: .

С помощью кванторов это определение запишем так:

Если число является пределом функции в точке , то геометрически это означает, что график функции для находится внутри прямоугольника, ограниченного прямыми ; ; ; .

Однако точка (если в точке функция определена) может как принадлежать, так и не принадлежать этому прямоугольнику (рис. 29).

Если число устремить к нулю, то этот прямоугольник будет стягиваться к точке , и, значит, когда точка стремится к точке , то точка графика функции стремится к точке .

Пример 73.Докажите, что .

Функция определена в любой окрестности точки . Неравенства , , будут выполняться для всех , удовлетворяющих условию . Таким образом, , это и означает, что .

Не для всякой функции, определённой в окрестности точки , существует предел при . Например, функция

Эта функция (рис. 30) не имеет предела в точке . (Докажите самостоятельно).