Замечательные пределы

Докажем, что (первый замечательный предел).

Доказательство: Рассмотрим единичную окружность. Предположим, что удовлетворяет неравенству и обозначает радианную меру некоторого угла NOM. Рассмотрим треугольник OMN, OPN и сектор MON (рис. 30).

; (*)

;

; .

Подставив найденные выражения в (*), имеем: , поскольку при , то ; . (**)

, следовательно, .

Замена на не нарушает неравенство (**). Поэтому оно справедливо и для . Значит, .

Рассмотрим несколько упражнений:

1) .

2) , где и при также и .

3) .

4) , где и если , то .

Рассмотрим второй замечательный предел и некоторые его обобщения: известно, что . Если , то , аналогично при : . Вообще, . Пусть , тогда если , то и мы получим: . Итак, - второй замечательный предел. Рассмотрим некоторые следствия.

Если в равенстве прологарифмировать левую и правую части, то получим . Таким образом, - третий замечательный предел.

В равенстве сделаем замену: , тогда если , то . Кроме того, и ; тогда получим или - четвертый замечательный предел.

Итак, замечательные пределы: