Односторонние пределы

Определение 66.Правой окрестностью точки а называется любой интервал .

Пусть функция определена в некоторой правой окрестности точки .

Определение 67.Число называется пределом справа функции в точке , если для любого положительного числа найдётся такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . При этом пишут: . Часто вместо пишут .

То есть .

Аналогично определяется предел слева.

Определение 68.Левой окрестностью точки называется любой интервал .

Пусть функция определена в некоторой левой окрестности точки .

Определение 69.Число называется пределом слева функции , если для любого положительного числа найдётся такое положительное число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . При этом пишут: или .

То есть .

Наглядное представление об односторонних пределах дает:

Пример 74.Пусть - объем 1кг при температуре . Тогда - объем 1кг льда при температуре , а объем 1кг жидкой воды при той же температуре. Из курса физики известно, что (это обстоятельство приводит, например, к тому, что при замерзании воды в водопроводных трубах они лопаются).

►Теорема 20.(необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке). Для того, чтобы число было пределом функции в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела и и они были равны между собой: .

Докажите эту теорему самостоятельно.

Пример 75.Пусть . Найдем односторонние пределы этой функции в точке .

, тогда ; ;

, тогда ; .

Итак, .