Горизонтальные и наклонные асимптоты

Пусть функция определена на бесконечном интервале .

Определение 62.

Аналогично для .

Определение 63.Прямая называется наклонной асимптотой, если . Если , то прямая называется горизонтальной асимптотой, тогда .

►Теорема 19.Для того, чтобы прямая являлась асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали и .

Доказательство:

1) (необходимость). Пусть прямая – асимптота графика функции при . Это значит, что . Рассмотрим функцию . Так как , , а так как , то .

2) (достаточность).

Рассмотрим функцию . Так как , , а так как , то . Пусть , . Рассмотрим , подставляя значения и , получим, что .

Аналогично можно показать, что если функция определена на интервале , то для того, чтобы прямая являлась асимптотой функции и при , необходимо и достаточно, чтобы существовали и .

Пример 71.Найти наклонные асимптоты графика функции .

.

График функции имеет асимптоту при .

Найдем асимптоту графика функции при .

.

График функции имеет асимптоту при .

Пример 72.Найти горизонтальную асимптоту графика функции .

Решение: ; значит, прямая - горизонтальная асимптота графика функции .