Свойство бесконечно малых функций

►Теорема 13.Если функции и бесконечно малы при , то сумма бесконечно мала при .

Доказательство:Так как и – бесконечно малые при , то найдутся лучи и , на которых для любого соответственно выполняются неравенства и . На общей части этих лучей выполняются оба неравенства, следовательно, . Таким образом, для любого существует луч, на котором , значит, – бесконечно малая при .

Следствие 1.Если функции бесконечно малы при , то функция – бесконечно мала при .

►Теорема 14.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую – бесконечно малая функция.

Доказательство:Пусть – ограниченная, а – бесконечно малая при , значит, и

.

Рассмотрим модуль произведения для всех , принадлежащих общей части лучей и . Пусть . Итак, , а это значит, что - бесконечно малая при .

Следствие 2. Произведение конечного числа бесконечно малых – бесконечно малая при .

Примечание: Теорема 13 и 14 сформулированы и доказаны при . Аналогично формулируются соответствующие теоремы при и .

►Теорема 15.Для того, чтобы функция имела при предел, равный , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение , где – бесконечно малая при .

Доказательство:1) (необходимость)

Пусть , значит, обозначим , тогда , где – бесконечно малая, так как .

2) (достаточность)

Пусть , где – бесконечно малая при , тогда , но , значит, , таким образом, .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 66.Докажите, что бесконечно малая при .

Доказательство: , значит, - произведение функций бесконечно малых при , следовательно, бесконечно малая при .

Докажите самостоятельно, что для любого функция бесконечно малая при .

Пример 67.Докажите, что , бесконечно малая при .

Доказательство:Так как , то при , - бесконечно малая при , значит, , бесконечно малая при .

Пример 68.Докажите, что .

Доказательство:рассмотрим , функция бесконечно малая при , бесконечно мала и функция при , значит, .

Свойства предела функции при . Теорема о единственности предела.

►Теорема 16.Если функция имеет предел при , то этот предел единственен.

Доказательство:Пусть , тогда для любого найдется такое , что для всех выполняются неравенства: и , тогда

Следовательно, неотрицательное число меньше любого положительного числа . Таким числом может быть только нуль: , , .