Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Свойство бесконечно малых функций

Читайте также:
  1. L – класс линейных функций.
  2. Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм
  3. Анатомо-морфологическая база высших психических функций
  4. Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций
  5. Аудит малых экономических субъектов
  6. Базовым принципом концепции МСС является отделение друг от друга функций переноса и коммутации, функций управления вызовом и функций управления услугами.
  7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.
  8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  9. Бесконечно малые функции. Арифметические действия с бесконечно малыми (доказательство)
  10. БЕСКОНЕЧНОГО РАЗВИТИЯ МАТЕРИИ

►Теорема 13.Если функции и бесконечно малы при , то сумма бесконечно мала при .

Доказательство:Так как и – бесконечно малые при , то найдутся лучи и , на которых для любого соответственно выполняются неравенства и . На общей части этих лучей выполняются оба неравенства, следовательно, . Таким образом, для любого существует луч, на котором , значит, – бесконечно малая при .

Следствие 1.Если функции бесконечно малы при , то функция – бесконечно мала при .

►Теорема 14.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую – бесконечно малая функция.

Доказательство:Пусть – ограниченная, а – бесконечно малая при , значит, и

.

Рассмотрим модуль произведения для всех , принадлежащих общей части лучей и . Пусть . Итак, , а это значит, что - бесконечно малая при .

Следствие 2. Произведение конечного числа бесконечно малых – бесконечно малая при .

Примечание: Теорема 13 и 14 сформулированы и доказаны при . Аналогично формулируются соответствующие теоремы при и .

►Теорема 15.Для того, чтобы функция имела при предел, равный , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение , где – бесконечно малая при .

Доказательство:1) (необходимость)

Пусть , значит, обозначим , тогда , где – бесконечно малая, так как .

2) (достаточность)

Пусть , где – бесконечно малая при , тогда , но , значит, , таким образом, .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 66.Докажите, что бесконечно малая при .

Доказательство: , значит, - произведение функций бесконечно малых при , следовательно, бесконечно малая при .

Докажите самостоятельно, что для любого функция бесконечно малая при .

Пример 67.Докажите, что , бесконечно малая при .

Доказательство:Так как , то при , - бесконечно малая при , значит, , бесконечно малая при .

Пример 68.Докажите, что .

Доказательство:рассмотрим , функция бесконечно малая при , бесконечно мала и функция при , значит, .

Свойства предела функции при . Теорема о единственности предела.

►Теорема 16.Если функция имеет предел при , то этот предел единственен.

Доказательство:Пусть , тогда для любого найдется такое , что для всех выполняются неравенства: и , тогда



Следовательно, неотрицательное число меньше любого положительного числа . Таким числом может быть только нуль: , , .


Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 12; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Основные определения. Никакие два класса делятся логические ошибки? | Основные теоремы о пределах функций
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты