Свойства функций, непрерывных на отрезке

Обсуждая наглядное представление о непрерывной функции, мы говорили о ее графике, как о едином куске. Рассмотрим рис. 31.

Если мы возьмем любую точку на оси ординат, лежащую между точками с ординатами и , и проведем через нее горизонтальную прямую, то эта прямая пересечет график в некоторой точке. Пусть абсцисса этой точки равна . Тогда . Таким образом, для любого числа , лежащего между и найдется такое , что и .

Рассмотрим рис. 32. Точка лежит между и , но если провести через нее горизонтальную прямую, то эта прямая не пересечет графика функции . Иными словами между точками и нет точки такой, что .

Рассмотрим рис. 33. Для любого , лежащего между и , найдется точка между точками и такая, что , тем не менее рис. 33 отличается от рисунка 31. Действительно, если вместо точек и мы возьмем точки и из отрезка , то убедимся, что значение лежит между и , но не существует такой точки из отрезка , в которой .

Проведенные рассуждения позволяют уточнить наглядные представления о линии, состоящей из одного куска: если график функции на отрезке состоит из одного куска, то для любых двух точек и этого отрезка и любого числа , лежащего между и , найдется такое значение , что и ; то есть эта функция принимает все значения, лежащие между двумя данными значениями функции.

Покажем, что этим свойством обладает график любой непрерывной функции. Верна следующая «теорема о промежуточном значении»:

►Теорема 28.(Теорема Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда для любых и этого отрезка и любого числа , лежащего между и найдется такое, что и .

Доказательство теоремы о промежуточном значении проведем в три этапа:

I. (лемма). Пусть функция непрерывна в точке . Если она положительна в этой точке ( ), то существует окрестность точки , в которой .

Доказательство:(леммы) так как функция непрерывна в точке , то найдется такое , что в окрестности точки выполняется неравенство (в качестве выбрано положительное число ). Тогда при имеем: , итак, в -окрестности точки .

Аналогично доказывается, что если функция непрерывна в точке и отрицательна в этой точке, то она отрицательна в некоторой окрестности точки .