Решение. Для решение задач воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей

Для решение задач воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Закон Био – Савара – Лапласа позволят определить магнитную индукцию dB, создаваемую элементом тока Idl. Заметим, что вектор dB в точке А направлен на плоскость чертежа. Принцип суперпозиции позволяет для определения В воспользоваться геометрическим суммированием 9 интегрированием):

В = dB, (1)

Где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Запишем закон Био – Савара – Лапласа в векторной форме:

dB = [dlr],

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током I в точке, определяемой радиусом –вектором r; μ – магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае μ = 1^*); μ₀ – магнитная постоянная. Заметим, что векторы dB от различных элементов тока сонаправлены (рис. 32), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме: В = dB,

где dB = dl.

В скалярном выражении закона Био – Савара – Лапласа угол α есть угол между элементом тока Idl и радиусом-вектором r. Таким образом:

B = dl. (2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная – угол α. Для этого выразим длину элемента провода dl через угол dα: dl = rdα / sinα (рис. 32).

Тогда подынтегральное выражение dl запишем в виде :

= . Заметим, что переменная r также зависит от α, (r = r₀/sin α); следовательно, = dα.

Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде:

В = sinα dα.

Где α₁ и α₂ – пределы интегрирования.

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cosα₂ = - cosα₁. С учетом этого формула (3) примет вид:

В = cosα₁. (4)

Из рис. 32 следует: cosα₁ = = .

Подставив выражения cosα₁ в формулу (4), получим:

В = . (5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем: В = 26,7 мкТл.

Направление вектора магнитной индукции В поля, создаваемого прямым током, можно определить по правилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим силовую линию (штриховая линия на рис. 33) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор В. Вектор магнитной индукции В в точке А (рис. 32) направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Рис. 33, 34

Пример 2.

Два параллельных бесконечных длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию в поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 34), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого – r₂ = 12 см.

Решение.

Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций В₁ и В₂ полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

В = В₁ + В₂.

Модуль вектора В может быть найдем по теореме косинусов:

В = , (1)

Где α – угол между векторами В₁ и В₂ .

Магнитные индукции В₁ и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А:

В₁ = μ₀I /(2πr₁); В₂ = μ₀I /(2πr₂).

Подставляя выражения В₁ и В₂ в формулу (1) и вынося μ₀I /(2π) за знак корня, получаем:

В = . (2)

Вычислим cosα. Заметив, что α = DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем:

d² = r + - 2r₁ r₂ соs α.

Где d – расстояние между проводами. Отсюда :

соs α = ; соs α = = .

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

В = Тл = 3,08*10^-4 Тл = 308 мкТл.

Пример 3.

По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.