Решение. Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис. 44 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас» (обозначены крестиком).

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением:

I_экв = ,

Где е – заряд электрона; Т – период его обращения.

Рис. 44

Период обращения можно выразить через скорость электрона υ и путь, проходимый электроном за период Т = υ/(πR). Тогда

I_экв = υ/(2πR). (1)

Зная I_экв , найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением:

р_m = I_экв S. (2)

где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном (S = πR²).

Подставив I_экв из (1) в выражении (2), получим: р_m = πR².

Сократим на πR и перепишем это выражение в виде:

р_m = R. (3)

в полученном выражении известной являеться скорость электрона, которая связана с радиусом окружности, по которой он движется, соотношением R = mυ/(QB) (см. пример 8). Заменив Q на В R/m и подставим ее в формулу

(3) : р_m = .

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (А*м²):

=1А*м²,

произведем вычисления:

р_m = А*м² = 7,03*10^-12А*м² = 7,03пА*м².

Пример 10.

Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10мТл) по винтовой линии, радиус R который равен 1см и шаг h = 6см. определить период Т обращения электрона и его скорость υ.

Решение.

Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (α ≠ π/2) к линиям магнитной индукции. Разложим , как это показано на рис. 45, скорость υ электрона на две составляющие: параллельно вектору В(υ₁) и перпендикулярную ему (υ ). Скорость υ_║ в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость υ в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (Fл υ ) (в отсутствие параллельной составляющей) (υ_║ = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерно перемещении со скоростью υ_║ и равномерном движении по окружности со скоростью υ .

Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением: Т = 2πR/ υ . (1)

Найдем отношение R/ υ . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение а_п = υ² / R. Согласно второму закону Ньютона можно написать Fл = ma_п,

Или

υ В = m υ² / R, (2)

где υ = υsin α .

сократив (2) на υ , выразим соотношение R/ υ (R/ υ = m/ В) и подставим его в формулу (1):

Т = 2π .

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

Произведем вычисления:

Т = с= 3,57*10 ^-9с = 3,57 нс.

Модуль скорости υ, как это видно на рисунке 45, можно выразить через υ и υ_║ : υ = _║ .

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:

υ = .

Параллельно составляющую скорости υ_║ найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Т υ_║, откуда υ_║ = h\Т.

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим:

υ_║ = .

Таким образом, модуль скорости электрона: υ = _║ = ²

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу – метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Произведем вычисления:

υ = м/с = 2,46*10⁷ м/с,

или 24,6 Мм/с.

Пример 11.

Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10кВ/м) и магнитное (В = 0,1Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение.

Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа-частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы:

QU=mv²/2,

Откуда:

Q/m = v²/ (2U). (1)

Скорость v альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся зараженную частицу действуют две силы:

А) сила Лоренца F_л = Q[vB], направленная перпендикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В;

Б) кулоновская сила F_к = QЕ, сонаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля (Q > 0).

На рис. 46 направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Оz, скорость v – в положительном направлении оси Ох, тогда F_л и F_к будут направлены так, как показано на рисунке.

Рис. 46.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил F_л = F_к будет равна нулю. В проекции на ось Оу получим следующее неравенство (при этом учтено, что υ В и sin α = 1):

QЕ – QvB = 0,

Откуда:

υ = Е/В.

Подставив это выражение скорости в (1), получим: Q/m = Е² (2UВ²).

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удельного заряда (Кл/кг):

1Кл/кг.

Произведем вычисления:

Кл/кг = 4.81*10⁷ Кл/кг = 48,1МКл/кг.

Пример 12.

Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой п=10с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиями однородного магнитного поля (В = 0,04Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α = 60⁰ с линиями поля. Площадь S катушки равна 100см² .