Решение. Согласно закону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае

Согласно закону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления tg ε = п₂₁ , где п₂₁ – показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, tg ε = п₂ /п₁.

Так как угол падения равен углу отражения, то ε = φ/2 , и, следовательно, tg (φ/2) = п₂ /п₁ , откуда:

п₁ =

Изведем вычисления:

п₁ = =1,33.

Пример 5.

Два николя N₁ и N₂ расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет α = 60⁰. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность I₀ естественного света: 1) при прохождении через один николь N₁; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе k = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

Решение.

1. Естественный свет, падая на грань призмы николя (рис. 62), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок света (о) вследствие полного отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму, уменьшая свою интенсивность света, прошедшего через первую призму,

I₁ = ½ I ₀ (1- k).

Рис.62

Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I₀ естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность I₁ поляризованного света:

. (1)

Произведем вычисления:

= 2,1.

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.

2. Плоскополяризованной пучок света интенсивности I₁ падает на второй николь N₂ и также расщепляется на два пучка различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный пучок полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность I₂ необыкновенного пучка, вышедшего из призмы N₂ , определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе):

I₂ = I₁ cos² α,

Где α – угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и плоскостью пропускания николя N₂ .

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получаем:

I₂ = I₁ (1 – k) cos² α,

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I₀ естественного света на интенсивность I₂ света, прошедшего систему из двух николей:

.

Заменяя отношение I₀ / I₁ его выражением по формуле (1), получаем:

.

Произведем вычисления:

= 8,86.

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшается в 8,86 раза.

Пример 6.

Плоскополяризованной монохроматический пучок света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластину, интенсивность I пучка света после поляроида стала равна половине интенсивности пучка, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения α кварца принять равной 48,9 град/мм.

Решение.

Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (штриховая линия на рис. 63) перпендикулярна плоскости колебаний (I – I) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света на угол

φ = α l, (1)

где l – толщина пластины.

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид, определим угол β, который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (I I - I I) плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса:

I = I₀ cos² β .

Заметив, что β = π/2 – φ, можно написать: I = I₀ cos² (π/2 – φ),

или I = I₀ sin²φ. (2)

из равенства (2) с учетом (1) получим α l = arcsin , откуда искомая толщина пластины:

l = (1/ α) arcsin .

l = arcsin мм = мм = 16 мкм.

Рис.63

Пример 7.

Определить импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущего со скоростью υ = 0,9с, где с – скорость света в вакууме.

Решение.

Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:

р = mυ (1)

Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле:

m = m₀ / , (2)

где m – масса движущейся частицы; m₀ – масса покоящейся частицы;

β = υ/с – скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

Заметив в формуле (1) массу m ее выражением (2) и приняв во внимание, что υ = с β, получим выражение для релятивистского импульса:

р = βс = βс. (3)

Произведем вычисления:

р = 0,9*3*10⁸ кг*м/с = 5,6*10^-22 кг*м/с.

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е₀ этой частицы, т.е. Т = Е – Е₀.

Так как Е = mс² и Е₀ = m₀ с², то, учитывая зависимость массы от скорости, получаем Т = m₀ с² / - m₀ с² или

Т = m₀ с² ( (4)

Произведем вычисления:

Т = 9,1*10^-31 (3*10⁸)² * ( Дж = 8,18*10^-14 * (2,29 – 1)Дж =

1,06 * 10^-13Дж.

Так как во внесистемных единицах m₀ с² = 0,51 МэВ, то вычисления упрощаются:

Т = 0,51 * 1,29 МэВ = 0,66 МэВ.

Пример 8.

Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией Т = 5 МэВ.

Решение.

Решение задачи сводится к установлению соотношения между релятивистским импульсом р частицы и ее кинетической энергией Т.

Сначала установим связь между релятивистским импульсом и полной энергией частицы. Полная энергия Е частицы прямо пропорциональна ее массе, т.е.

Е = mс². (1)

Зависимость массы от скорости определяется формулой:

m = m₀ / . (2)

Заменив массу m в формуле (1) ее выражением (2) и приняв во внимание, что m₀ с² = Е₀, получим:

Е = Е₀ / . (3)

Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем Е² = Е /(1 – β²), откуда

Е² – (βЕ)² = Е . (4)

Очевидно, что

βЕ = (υ/с) mс² = m υ с = рс.

Поэтому равенство (4) можно переписать в виде Е² – р² с² = Е , откуда релятивистский импульс:

р= (1/с) = (1/с)

разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия Т частицы: Е – Е₀ = Т. Легко убедится, что Е + Е₀ = Т + 2Е₀, поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы выразится формулой:

р =

Вычисление удобно провести в два приема: сначала найти числовое значение радикала во внесистемных единицах, а затем перейти к вычислению в единицах СИ.

Таким образом,

р = МэВ = МэВ = Дж =

2,93*10^-21кг*м/с.

Пример 9.

Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, λ₀ = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) R_е поверхности тела.

Решение.

Энергетическая светимость R_е абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана – Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой:

R_е = σТ⁴, (1)

Где σ – постоянная Стефана – Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:

λ₀ = b/Т, (2)

где b – постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (2) и (1), получаем:

R_е = σ(b/ λ₀)⁴ . (3)

Произведем вычисления:

R_е = 5,67 * 10^-8 ( Вт/м² = 3,54*10⁷ Вт/м² = 35,4 МВт/м².

Пример 10.

Определить максимальную скорость υ_mах фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:

1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁ = 0,155мкм; 2) γ – излучением с длиной волны λ₂ = 1пм.

Решение.

Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

ε = А + Т_mах (1)

где ε – энергия фотонов падающих на поверхность металла; А – работа выхода; Т_mах – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле:

ε = hc/λ (2)

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; λ – длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле:

Т= m₀υ² /2, (3)

Или по релятивистской формуле:

Т = Е₀ (1/ -1) (4)

В зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия ε фотона много меньше энергии покоя Е₀ электрона, то может быть применена формула (3), если же ε сравнима по величине с Е₀, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).

1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):

ε = Дж = 1,28*10^-18 Дж,

или

ε₁ = эВ = 8 эВ.

Полученная энергия фотона (8эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):

ε₁ = А + m₀υ² _mах /2,

откуда

m₀υ _mах = (5)

Проверим, дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения единиц:

Найденная единица является единицей скорости.

Подставив значения величин в формулу (5), найдем

m₀υ _mах = м/с = 1,08*10⁶ м/с.

2. Вычислим энергию фотона γ- излучения:

ε₂ = Дж = 1,99*10^-13 Дж,

или во внесистемных единицах:

ε₂ = эВ = 1,24*10⁶эВ = 1,24 МэВ.

Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (ε₂ = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: Т_mах = ε₂ = 1,24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергия покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем:

β = (Е₀ + Т).

Заметив, что υ = с β и Т_mах = ε₂, получим:

υ_mах = с /(Е₀ + ε₂).

Произведем вычисления:

υ_mах = 3*10⁸ м/с = 2,85*10⁸м/с.

Пример 11.

В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол = 90⁰. Энергия рассеянного фотона ε₂ = 0,4 МэВ. Определит энергию фотона ε₁ до рассеяния.