Метод начальных параметров. Универсальное уравнение упругой линии балки

В отличие от предыдущего метода в предлагаемом методе начальных параметров (МНП) независимо от количества силовых участков балки приходится находить только две произвольные постоянные интегрирования – прогиб и угол поворота в начале координат (y₀, θ₀). Это достигается путем применения следующих правил при составлении уравнения моментов:

- начало координат выбирается в одном из крайних сечений балки и является общим для всех ее участков;

- внешний сосредоточенный момент М включается в уравнение изгибающих моментов в виде произведения на множитель вида (z – а)⁰, равный единице (здесь а – абсцисса сечения, где действует внешний момент М);

- в случае завершения действия распределенной нагрузки на некотором участке, ее продолжают до конца рассматриваемого участка, а для обеспечения исходного равновесия вводят “компенсирующую” нагрузку обратного направления;

- операции интегрирования или дифференцирования уравнений на всех участках следует выполнять, применяя прием Клебша, т.е. не раскрывая скобок.

С учетом названных правил составляется и решается ДУУЛБ применительно к заданной расчетной схеме балки. Тогда в конечном виде для балки, имеющей большое количество участков с различными внешними нагрузками, общее универсальное уравнение упругой линии балки (УУУЛБ) будет следующим:

После дифференцирования (2.15) получают универсальное уравнение углов поворота балки (УУУПБ)

где y₀, θ₀ – геометрические начальные параметры, т.е. прогиб и угол поворота в начале координат; определяются из граничных условий;

М₀, Q₀ – статические начальные параметры, т.е. изгибающий момент и поперечная сила в начале координат; они определяются по схеме нагружения балки или из уравнений ее равновесия;

M_i, F_i, q_i – момент, сосредоточенная сила и распределенная нагрузка в i-м сечении балки соответственно; они включаются в уравнение со своими знаками в соответствии с «правилом зонтика» для изгибающего момента;

k_i – величина, характеризующая неравномерно распределенную нагрузку, например, треугольную или трапециевидную; определяется как тангенс угла наклона неравномерной нагрузки, k = tg a ;

a_i, b_i, c_i, d_i – абсциссы сечений, где действуют соответствующие внешние нагрузки (M_i, F_i, q_i, k_i).

Рассмотрим общий порядок определения перемещений методом начальных параметров на примере расчетной схемы некоторой балки (рисунок 2.7), который сводится к следующему:

1 Выбирается начало координат в одном из крайних сечений балки (лучше в левом), которое является общим для всех участков.

2 Для последнего силового участка балки составляется универсальное уравнение упругой линии балки (УУУЛБ)

- геометрические начальные параметры

-статические начальные параметры определяются из уравнений равновесия

4 Все найденные начальные параметры подставляются в исходное УУУЛБ:

путем дифференцирования которого получают универсальное уравнение углов поворота балки (УУУПБ)

5 Определяются искомые перемещения точек балки путем подстановки в соответствующее уравнение числовых значений абсцисс заданных точек. При этом отбрасываются те слагаемые соответствующих универсальных уравнений, которые учитывают внешние нагрузки, приложенные за пределами рассматриваемого участка.

Изложенный выше метод начальных параметров является достаточно простым и универсальным, т.к. позволяет находить линейные и угловые перемещения любых точек балки, с большим количеством силовых участков и с разнообразной нагрузкой. Однако этот метод имеет следующие недостатки:

- он не применим для балок с ломаной осью, рамных систем и кривых брусьев;

- он не позволяет определять перемещения точек балки в произвольных направлениях, не считая вертикального.

Для устранения этих недостатков в курсе сопротивления материалов широко применяются так называемые энергетические способы.