Метод Мора для нахождения перемещений в упругих системах

Недостатки теоремы Кастильяно можно устранить, если использовать прием Мора-Максвелла. Этот метод основан на применении так называемой фиктивной обобщенной нагрузки Φ.

Особенности применения этого метода заключаются в следующем:

1) В заданной точке расчетной схемы балки (рисунок 2.8) прикладывается обобщенная фиктивная нагрузка, которая условно принимается равной единице. Фиктивная нагрузка должна соответствовать обобщенному перемещению, которое необходимо найти, т.е.

Направление приложения фиктивной нагрузки должно соответствовать искомому направлению перемещения. Для прогиба удобно единичную силу направлять снизу вверх согласно положительному направлению прогиба, а единичный момент направляется против часовой стрелки в соответствии с положительным направлением угла поворота.

2) Определяется потенциальная энергия упругой деформации всей системы и, согласно теореме Кастильяно, производится расчет частной производной по приложенной фиктивной нагрузке:

(2.21)

В полученном выражении исключается фиктивная нагрузка, т.к. ее на самом деле нет. Конечная зависимость представляет собой формулу, называемую интегралом Мора. Для деформации изгиба она имеет такой вид:

где – изгибающий момент от действия единичной фиктивной нагрузки в сечении i системы;

– изгибающий момент от действия внешней нагрузки в сечении i.

На следующем примере (рисунок 2.9) показано определение прогиба в точке В консольной балки по методу Мора:

- выбирается вспомогательная схема, для чего на исходной схеме отбрасываются все внешние нагрузки, которая загружается соответствующей единичной нагрузкой;

- для исходной и вспомогательной схем составляются общие выражения изгибающих моментов по всем участкам балки:

- полученные выражения моментов подставляются в интеграл Мора, после решения которого определяется искомое перемещение балки

Достоинством метода Мора является то, что он позволяет находить различные перемещения для сложных систем. Недостатком является высокая трудоемкость при расчете систем с большим количеством силовых участков.

Для уменьшения трудоемкости таких расчетов интеграл Мора обычно заменяют произведением в соответствии со способом Верещагина.