Формирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения вероятностей

Практически все языки программирования обладают встроенным генератором равномерно распределенных чисел. Будем называть его базовым датчиком. Существует ряд способов, позволяющих на основе базового датчика получить последовательность чисел с заданным законом распределения. Основной способ, называемый методом обратного преобразования, базируется на следующей теореме.

Теорема. Пусть случайная величина a имеет плотность распределения вероятностей f_a(x). Тогда случайная величина имеет равномерный закон распределения на интервале [0,1].

Из теоремы следует, что для формирования последовательности чисел a_i, имеющих закон распределения f_a(x), необходимо разрешить относительно a_i уравнение

где R_i - число, сформированное базовым датчиком случайных чисел, имеющим равномерный закон распределения на интервале [0,1]. Недостатком метода обратного преобразования является невозможность его применения в случаях, когда для заданного закона распределения интеграл в (2.1) не вычисляется в замкнутом виде (например, для нормального закона). Тогда необходимо использовать специальные методы.

Ниже рассмотрены несколько датчиков для конкретных, популярных на практике распределений вероятностей.

1). Датчик чисел с равномерным законом распределения на заданном интервале.

Пусть необходимо создать датчик случайных чисел x_i, имеющих закон распределения:

В данном случае уравнение (2.1) может быть записано следующим образом:

Преобразуем левую часть уравнения по формуле Ньютона-Лейбница:

Тогда:

.

2) Датчик чисел с экспоненциальным законом распределения.

Датчик чисел с экспоненциальным законом распределения широко используется при моделировании систем массового обслуживания. В частности, в пуассоновском потоке заявок интервалы времени между соседними заявками распределены по экспоненциальному закону. Плотность вероятности записывается следующим образом:

Пользуясь методом обратного преобразования, можно вывести следующее соотношение:

3) Датчик чисел с нормальным законом распределения.

Нормальный закон распределения встречается повсеместно и описывает большое количество процессов в природе: начиная от шумов в радиотехнических системах до размера плодов в сельском хозяйстве. Он описывается следующей формулой:

Применение метода обратного преобразования невозможно в силу того, что интеграл от данной функции не выражается конечной формулой. Один из наиболее распространенных способов построения датчика нормально распределенных чисел заключается в следующем: формируются две независимые случайные величины R_i и R_i+1. Тогда, по формулам (2.4), известным как преобразование Бокса-Мюллера, можно сформировать две независимые случайных величины, распределенных по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.