Модели входного потока заявок

Для описания входного потока запросов часто бывает достаточно задать последовательность моментов поступления запросов на вход СМО. В зависимости от классификации этой последовательности потоки делятся на: стохастические и детерминированные, на однородные и неоднородные. Стохастические потоки делятся в свою очередь на: стационарные и нестационарные. Остановимся подробней на каждом из этих видов.

Детерминированные потоки заявок.

Такие потоки могут задаваться либо в виде расписания (таблицы моментов поступления заявок), либо указанием алгоритма, позволяющего вычислить моменты поступления заявок без использования случайных чисел и случайного выбора. Примером СМО с детерминированным потоком заявок является аэропорт. Обслуживающим устройством является взлётно-посадочная полоса, а входной поток запросов задается расписанием отправления самолетов, использующих эту полосу.

Стохастические стационарные потоки заявок.

В стохастическом (случайном) потоке моменты поступления запросов случайны, и в общем случае их описание требует большого количества информации. Поэтому здесь рассматриваются лишь наиболее простые модели потоков. Будем полагать, что длительности временных интервалов между моментами поступления соседних запросов являются случайными величинами u₁,u₂,…, которые попарно статистически независимы и все имеют одну и ту же плотность распределения вероятностей f_u(x) (такой поток называется рекуррентным потоком или потоком Пальма). Интенсивностью потока называется величина , где m_u – математическое ожидание случайной величины u. Интенсивность потока l равна среднему числу запросов на промежутке времени, выбранном за единицу (1сек., 1мин., 1час и т.д.). Важной характеристикой рекуррентного потока, характеризующей уровень его случайности, является коэффициент вариации, равный отношению среднеквадратического значения к среднему значению случайной величины u, то есть . Для большинства реальных потоков значение v_u лежит в пределах от 0 до 1, причем, v_u = 0 для детерминированных потоков.

Важнейшим частным случаем рекуррентного потока является так называемый пуассоновский поток, для которого плотность распределения вероятностей f_u(x) задается формулой экспоненциального распределения:

где l – интенсивность пуассоновского потока. Для пуассоновского потока s_u = m_u,и, следовательно, v_u = 1, т.е. по уровню случайности пуассоновский поток можно считать антиподом к детерминированному потоку. Пуассоновский поток достаточно хорошо аппроксимирует большинство потоков, встречающихся в социальных и технических системах (например, интервалы времени между приходящими к врачу пациентами или встающими в очередь покупателями в магазине)

В ряде практических приложений входной поток заявок является эрланговским. Эрланговские потоки по уровню случайности являются промежуточными между детерминированными и пуассоновскими. Эрланговский поток порядка k получается из пуассоновского потока, в котором оставляется лишь каждый k-ая заявка, а остальные выбрасываются. Такая операция называется прореживанием потока. Примером подобного потока является поток проходящих через турникет метрополитена людей. Исходный поток людей, входящих в вестибюль метро, является пуассоновским и делится примерно поровну между всеми N турникетами.

Функция f_u(x) для эрланговского потока порядка k > 1 в общем виде вычисляется довольно сложно, но коэффициент вариации найти несложно. Можно показать, что для эрланговского потока , т.е. с увеличением k v_u убывает к нулю.

Стохастические нестационарные потоки заявок.

В реальных системах интенсивность потока запросов редко бывает строго постоянной. Например, интенсивность потока покупателей в течение суток может изменяться в несколько раз. Это явление отражено в понятиях «часы максимальной нагрузки» и «часы минимальной нагрузки». В большинстве случаев можно считать, что нестационарность потока обусловлена только тем, что его интенсивность изменяется во времени.