Часть 2. Дифференциальные уравнения (ДУ) n-го порядка.

СБОРНИК ЗАДАНИЙ

для самостоятельной работы студентов по курсу

«Дифференциальные уравнения»

(факультет ЭКТ МИЭТ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-го и n-го ПОРЯДКА, системы уравнений.

Учебное пособие

Утверждено методическим советом кафедры ВМ-2

Зав. кафедры С. Г. Кальней

Москва

Прочти, реши и опять прочти!..

АННОТАЦИЯ

Сборник содержит систематизированный набор задач по основным разделам предмета «Дифференциальные уравнения» в части дифференциальных уравнений 1-го и n-го порядка. Основная цель Сборника – предоставить студентам стандартный набор задач для самостоятельной доработки материала Предмета.

По каждой теме, представленной в Сборнике, приведены примеры применения общих алгоритмов, полученных в теории дифференциальных уравнений. Учитывается, что общие алгоритмы достаточно отработаны на семинарских занятиях и при выполнении текущих домашних заданий и не нуждаются в их обосновании.

При оформлении каждого выполненного задания студенты должны руководствоваться иллюстрирующими примерами Сборника: применение общих алгоритмов должно сопровождаться краткими комментариями и пояснениями.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Аннотация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Занятие 1. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Приведение уравнений к каноническому виду. Построение кривой. . . . . . . . . . . . . 5

Занятие 2. Поверхности 2-го порядка: Эллипсоид. Эллиптический и гиперболический параболоиды.

Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Конус. Цилиндрические поверхности.

Приведение уравнений к каноническому виду. Построение эскизов поверхностей. . . . . . . . . . . . . 10

Часть 1. Дифференциальные уравнения (ДУ) 1-го порядка.

Занятие 3. Постановка задачи Коши (для ДУ 1-го порядка). Составление ДУ для заданного уравнения

семейства кривых линий. Изоклины. Решение уравнений с разделяющимися переменными. . . . . . 12

Занятие 4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли. . . . . . . . . 16

Занятие 5. Однородные функции двух переменных. Решение однородных уравнений 1-го порядка.

Решение уравнений в полных дифференциалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Занятие 6. Решение дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производной.

Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Нахождение особого решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Занятие 7. Контрольная работа №1 по теме «Дифференциальные уравнения 1-го порядка» . . . . . . . . . . . 31

Часть 2. Дифференциальные уравнения (ДУ) n-го порядка.

Занятие 8. Различные методы понижения порядка дифференциального уравнения для случаев:

а) ДУ не содержит явно или , б) ДУ содержит простые интегрируемые комбинации.

Линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Занятие 9. Линейные однородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами. Структура

общего решения. Построение ФСР для различных случаев характеристических корней. . . . . . . . . . . . 40

Занятие 10. Линейные неоднородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения. Метод неопределённых коэффициентов. Метод неопределённых

коэффициентов. Нахождение частного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Занятие 11. Метод вариации постоянных для линейных неоднородных ДУ. Уравнение Эйлера . . . . . 57

Занятие 12. Контрольная работа №1 по теме «Дифференциальные уравнения n-го порядка». . . . . . . . 62