ЗАНЯТИЕ 7. Контрольная работа №1 по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка».

☺ ☻ ☺

Контрольная работа №1 предназначена оценить степень усвоения основных понятий теории Дифференциальных уравнений и способов решения простейших типов ДУ первого порядка:

• Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

• Однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному уравнению 1-го порядка.

• Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

• Уравнения в полных дифференциалах.

• Уравнения 1-го порядка, не разрешённые относительно производной.

Состав и степень трудности предлагаемых в Контрольной работе заданий согласовывается с Методическим советом кафедры «Высшая математика».

При разработке заданий Контрольной работы учитывается также требование побудить студентов повторить пройденный материал по предмету. Это значит, что в заданиях не должно быть ничего такого, что, так или иначе, требует самостоятельных обобщений и выводов со стороны студентов.

Перед выполнением Контрольной работы студенты должны ознакомиться с перечнем вопросов, которые будут отражены в заданиях. Также важным элементом подготовки к контрольной работе должны быть регулярные текущие контрольные мероприятия в виде оперативных опросов: по 6-7 минут в начале каждого занятия.

☺FE☺

ЗАНЯТИЕ 8. Различные методы понижения порядка дифференциального уравнения для случаев: а) уравнение не содержит явно или , б) уравнение содержит простые интегрируемые комбинации. Линейная независимость системы функций. Определитель Вронского.

☺ ☻ ☺

Известно, что при нахождении корней многочлена - го порядка понижение порядка многочлена на несколько единиц существенно понижает общую трудоёмкость нахождения всех корней многочлена!.. В общей теории многочленов разработаны методы последовательного нахождения корней: теоремы Безу, Виета и другие!..

При решении дифференциальных уравнений - го порядка понижение порядка уравнения хотя бы на 1 также может существенно ускорить, и облегчить, процесс нахождения его решений!.. Рассмотрим несколько специальных типов уравнений, позволяющих применить процесс понижения порядка заданного уравнения!

Тип–А. Уравнение задано в виде: = .

Так как = , то исходное уравнение можно записать в виде: = и интегрировать его как уравнение 1-го порядка: = + . (1)

Выражение является дифференциальным уравнением - го порядка! Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ 1-го порядка. Конечно, для полного решения задачи придется применить найденный способ раз, но это уже не важно.

Тип–В. Уравнение задано в виде: , то есть не содержит явно переменную и производные порядка ниже - го не участвуют.

В этом случае принимают: = и далее записывают: = ,..., = . В результате получаем уравнение: . (2)

Выражение (2) является дифференциальным уравнением порядка . Решением этого уравнения будет: , (3)

что равносильно переходу к уравнению Типа–А: = = .

Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка .

Тип–С. Уравнение задано в виде: – не содержит явно переменную .

В этом случае принимают: = и далее записывают: , и так далее. В результате получаем уравнение:

. (4)

Выражение (4) является дифференциальным уравнением порядка . Решением этого уравнения запишем в виде: , (5)

что равносильно переходу к уравнению первого порядка: = = .

Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка .

Тип– D. Уравнение задано в виде: – полная производная по переменной .

В этом случае «на первом шаге интегрирования» имеем уравнение 1-го порядка. Его решение записывается в виде выражения: далее решают уравнение порядка .

Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка .

Тип– E. Уравнение задано в виде: , причем функция F(...) – однородная относительно переменных y, y′, y′′,… , y⁽ⁿ⁾, то есть:

= .

В этом случае применяют подстановку: u= и переходят к уравнению порядка .

Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка .

Рассмотренные типы уравнений имеют сходство в том, что в каждом случае поставленная задача «понизить порядок уравнения» решается по «стандартному алгоритму».

••• ≡•••

Пример 1–212: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–А.

2). В результате первого интегрирования получаем: = + = – + .

3). В результате 2-го интегрирования: = + = – + + .

Ответ: общее решение: = – + + .

Пример 2–214: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–А. Запишем его в виде: .

2). В результате первого интегрирования получаем: =2 +3 + = + .

3). В результате 2-го интегрирования получаем: = + + . Учтем интеграл: , и запишем: = + + = + + .

4). В результате 3-го интегрирования получим: = +3 + . Учтем интеграл: , тогда: = + + . Воспользовавшись свойством произвольных постоянных поглощения подобных членов и их независимости, запишем окончательно: = + + .

Ответ: общее решение: = + + .

Пример 3–216: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи запишем решение: . Видим, уравнение относится к Типу– C: явно не содержит . Если внимательнее присмотреться, заметим в примере также Тип– D.

2). Перепишем уравнение: . Интегрируем последнее: .

Замечание: распространена ошибка: вместо записи применяют и считают, что .

3). Получено уравнение: . Рассмотрим случаи:

▪ при =0 получаем решение: , или ;

▪ при выборе знака получаем решение в виде ;

▪ при выборе знака получаем решение: .

Ответ: решения: 1) и ; 2) ; 3) .

Пример 4–218: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит .

2). Примем: = , тогда = и уравнение принимает вид: , или в стандартной форме: – линейное уравнение, где и . Решение уравнения ищем в виде: .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = ∙ .

5). Учитывая = , запишем уравнение: – уравнение с разделяющимися переменными. Его решение:

Ответ: – общее решение.

Пример 5–220: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи запишем решение: . Видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит .

2). Примем: = → , уравнение принимает вид: , или . Учтем: решение p=0 (уже учтено!) и p=1, то есть: = .

3). Интегрирование уравнения: = дает: = . Из последнего выражения получаем ДУ с разделяющимися переменными: ′= . Его решение можно записать в виде: = + + . Решения: и = из общего решения не получаются.

Ответ: = + + – общее решение. Также: и = .

Пример 6–222: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Очевидно, решение .

2). Примем: = , тогда = и уравнение принимает вид: , или в стандартной форме: – однородное уравнение. Примем и запишем: = = .

3). Исследуем равенство: , в нашем случае . Из тригонометрии известно решение последнего: , или – семейство прямых, проходящих через начало координат . При значении получаем решение , то есть . Так как , из уравнения получаем: .

4). Теперь примем и вычислим интеграл = = .

5). Для функции получено общее решение: = , или . Учитывая, что , перепишем общее решение: , или .

6). Перепишем уравнение в виде: . Для удобства примем: . Тогда , или = .

Ответ: = , где – общее решение ДУ, также решением уравнения является функция: , .

Пример 7–224: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Очевидных решений нет.

2). Примем: = , тогда = и уравнение принимает вид: , или в стандартной форме: – линейное уравнение, где и .

3). Вычисляем интеграл: = и записываем выражение: = = .

4). Вычисляем: = = + = + .

5). Запишем общее решение уравнения : = ∙ = .

6). Интегрируя уравнение: = , получаем = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 8–226: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Очевидно, решение .

2). Примем: = , тогда = и уравнение принимает вид: , или в стандартной форме: – уравнение с разделёнными переменными. В результате интегрирования получаем: , откуда .

Ответ: = – общее решение, решение входит в общее решение.

Пример 9–228: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Учтем решение: =0, или = .

2). Примем: = , тогда и уравнение принимает вид: , или в стандартной форме: = – переменные разделились, его решение: = + , или = = .

3). Интегрируем уравнение = первый раз: .

4). Ещё раз интегрируем: . Применим модификацию произвольных постоянных величин и с целью поглощения в записи решения слагаемого , тогда .

Ответ: – общее решение, содержит = .

Пример 10–230: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи решение: . Видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит .

2). Примем: = → , уравнение принимает вид: . Так как решение уже учтено, запишем – однородное уравнение. Примем . Тогда = . Выделяем решения =0. Решение =0 уже учтено: , решение даёт .

3). Теперь примем и вычислим интеграл = = . Получено общее решение: = , или, учитывая , запишем: . Учитывая, что = имеем уравнение, не разрешённое относительно производной. Ниже справка:

Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее x: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

• Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

• Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.

• Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: = , интегрированием которого получаем: = .

• Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

4). В нашем случае = , = . Тогда = = , откуда получаем общее решение .

5). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения . В нашем случае эта система может быть записана в виде: .

Ответ: – общее решение. Также: и .

Пример 11–232: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи решений не видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит .

2). Примем: = → , уравнение принимает вид: , или запишем – уравнение с разделяющимися переменными, откуда: .

3). Перепишем последнее: , или . Тогда: .

Ответ: – общее решение.

Пример 12–234: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи решение: , уравнение относится к Типу–С: явно не содержит .

2). Примем: = → , уравнение принимает вид: . Так как решение уже учтено, запишем , или – линейное уравнение, где и . Решение уравнения ищем в виде: .

3). Вычисляем интеграл: = и записываем выражение: = = . Вычисляем: = = + = + . Тогда = .

4). Учитывая = , запишем . Нужно учесть случаи =0 и .

5). Для случая =0, запишем . Тогда решение имеет вид: .

6). Для случая , запишем , откуда: . Можно записать общее решение и в виде: .

7). Для случая , запишем , откуда: , здесь для постоянной величины применяется модификация (поглощение множителя 2 ).

Ответ: все записи решений в тексте.

Пример 13–236: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи решение: , уравнение относится к Типу–С: явно не содержит .

2). Примем: = → , уравнение принимает вид: . Так как решение уже учтено, запишем – уравнение с разделяющимися переменными.

3). Запишем , откуда: . Далее получаем – общее решение уравнения (применена модификация постоянных).

Ответ: общее решение: , также .

Пример 14–238: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, что уравнение явно не «намекает» ни на какой из рассмотренных типов уравнений. Но, «по логике вещей», ему «придется быть» Типом– D. Действительно, исходное уравнение легко переписать в виде: .

2). Интегрирование уравнения даёт: – уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его: – общее решение.

Ответ: общее решение: .

Пример 15–240: Решить ДУ: = , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, что уравнение явно не «намекает» ни на какой из рассмотренных типов уравнений. Проверим Тип– D. Действительно: = .

2). Интегрирование уравнения даёт: = + – уравнение Типа–В. Примем: = , тогда = и уравнение принимает вид: = + – уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем: , или .

3). Применяя табличный интеграл: , запишем = . Для удобства модифицируем постоянные величины: = .

Ответ: общее решение: = .

☺E☺

Пусть имеем совокупность функций: , ,..., и необходимо установить, зависима или нет эта совокупность. Оказывается, использование определителя Вронского позволяет решить вопрос о линейной зависимости (и независимости) совокупности функций.

Теорема: (8.4)

Если функции , ,..., линейно зависимы на интервале , и имеют производные до - го порядка, то определитель (Вронского): = тождественно равен нулю для всех значений переменной .

Определитель Вронского будет использоваться при решении линейных однородных дифференциальных уравнений - го порядка.

••• ≡•••

Пример 16–286: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , .

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: = = .

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 17–288: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , .

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: = = = .

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 18–290: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , , .

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: = = = .

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 19–292: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , .

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: = =1.

2). Определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 20–294: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , , .

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: = =0.

2). Видим: определитель Вронского равен нулю. Значит, система функций линейно зависима.

Ответ: система функций линейно зависима.

Вопросы для самопроверки:

1. В чем смысл задачи понижения порядка дифференциального уравнения?

2. Какие типы уравнений используются в задаче понижения порядка ДУ?

3. Имеем совокупность функций. Что значит: функции линейно зависимы?

4. Что такое «определитель Вронского»?

5. Как определить, зависимы или нет функции данной совокупности?

☺FE☺