Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 5–122: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и =0.

2). Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: = .

3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая = , запишем: . В нашем случае: = , производная = и =0. Тогда уравнение имеет вид: =

4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено: , , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..

5). Теперь . Учитывая = , перепишем: в виде:

– = – линейное уравнение,

решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение: .

6). Cоставим систему: у нас: – общий интеграл заданного

Ответ: – общий интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = ±x.

Пример 6–124: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и = .

2). Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: .

3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая = , запишем: . В нашем случае: = , производная = и = . Тогда уравнение имеет вид: = .

4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено: , , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: и . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..

5). Теперь . Учитывая = , перепишем: в виде:

– = – линейное уравнение,

решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение найдём применением общего алгоритма решения линейного уравнения:

• Решение уравнения ищем в виде функции: .

• Вычислим: = = , и запишем: u= , то есть .

• Вычислим: = = + , и запишем.

• Запишем общее решение линейного уравнения: = ∙ . Если последнее записать в виде: = ∙ + и в первой дроби выполнить преобразование выделение целой части, то = .

6). Вычислим: = , и запишем:

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме. Особые решения: и .

☺E☺

Особый интерес вызывает рассмотрение уравнения Клеро . Может показаться, что это всего лишь частный случай уравнения Лагранжа , когда .

На самом деле, в связи с этим уравнением затрагиваются такие геометрические свойства семейства кривых, которые не проявляются при решении других дифференциальных уравнений первого порядка.

Изучение совокупных свойств семейства интегральных кривых уравнения Клеро приводит к понятиям: огибающая семейства кривых и особые решения дифференциальных уравнений.

••• ≡•••

Пример 7–126: Решить уравнение Клеро: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Общее решение записывается в виде: .

2). Из системы: получаем систему для заданного уравнения: или в параметрическом виде: , которое представляется в виде: – парабола.

Ответ: общее решение: , особое решение: – парабола (огибающая).

Пример 8–128: Решить уравнение Клеро: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Общее решение записывается в виде: .

2). Из системы: получаем систему для заданного уравнения: , или в параметрическом виде: в котором удаётся исключить параметр: – особое решение.

Ответ: общее решение: , особое решение: .

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют уравнение 1-го порядка, не разрешённое относительно производной?

2. Основные типы уравнений, не разрешённых относительно производной.

3. Как вводят параметр при решении уравнения y=φ(y′)?

4. Как вводят параметр при решении уравнения x=φ(y′)?

5. Как вводят параметр при решении уравнения F(y,y′)=0?

6. Как вводят параметр при решении уравнения F(x,y′)=0?

7. Что такое «Уравнения Лагранжа»?

8. Что такое семейство кривых линий?

9. Можно ли рассматривать общее решение ДУ 1-го порядка как семейство кривых линий?

10. Что такое огибающая линия семейства кривых?

11. Как найти огибающую линию семейства кривых?

12. Что такое особая точка дифференциального уравнения?

13. Что такое особое решение дифференциального уравнения?

14. Какова стандартная запись уравнения Клеро?

15. Какова уравнение Клеро считают частным случаем уравнения Лагранжа?

16. Как найти особое решение уравнения Клеро?

☺FE☺