Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



ЗАНЯТИЕ 4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли.




Читайте также:
  1. I Классификация кривых второго порядка
  2. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  3. IX. Нелинейные электрические цепи.
  4. N-го порядка
  5. O установление государством видов, порядка и условий обязательного страхования, осуществляемого за счет средств самих страхователей;
  6. Ordm;. Кинематические уравнения Пуассона.
  7. V. ЗАКОНЫ, ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ
  8. Анализ уравнения массового расхода идеального газа и критическое давление
  9. Апериодическое звено второго порядка
  10. Аппроксимация уравнения гиперболического типа
Ауд. Л-4. Гл. 10 № 68-74 (чётные), 84, 86, 88, 94.

☺ ☻ ☺

Дифференциальное уравнение 1-порядка называют линейным, если входящие в него искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-й степени. Запись линейного уравнения считаем стандартной, если она имеет вид: , (1)

где и – непрерывные функции переменной или постоянные.

Для формы записи (1) используем стандартный алгоритм решения уравнения:

1. Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .

2. Вычисляем интеграл: и записываем выражение: = .

3. Вычисляем: = , где произвольная постоянная величина , в зависимости от конкретных выражений для функций и , может быть записана и в виде выражений , и др.

4. Запишем общее решение уравнения: = .

Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения линейного уравнения, первым действием при решении линейного уравнения 1-го порядка всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..

••• •••

Пример 168: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Приводим уравнение к стандартной форме: .

2). Вычисляем интеграл: = = . Тогда: = = , или = .

Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).

3). Вычисляем: = = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 170: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Запишем уравнение в форме: , где = и = .

2). Вычисляем интеграл: =– = . Тогда: = = .

3). Вычисляем: = = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 272: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Уравнение соответствует стандартной форме: , отметим сразу, что переменная . Запишем также: и .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + + = + + , или, после очевидных преобразований: =



Замечание: интеграл в таблице интегралов: = + . Его нетрудно получить методом интегрирования по частям.

4). Запишем общее решение уравнения: = = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 474: Решить дифференциальное уравнение: = .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение имеет очевидное решение .

2). Теперь принимаем и приводим уравнение к стандартной форме: .


Дата добавления: 2015-04-04; просмотров: 10; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты