Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


ЗАНЯТИЕ 4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли.




Ауд. Л-4. Гл. 10 № 68-74 (чётные), 84, 86, 88, 94.

☺ ☻ ☺

Дифференциальное уравнение 1-порядка называют линейным, если входящие в него искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-й степени. Запись линейного уравнения считаем стандартной, если она имеет вид: , (1)

где и – непрерывные функции переменной или постоянные.

Для формы записи (1) используем стандартный алгоритм решения уравнения:

1. Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .

2. Вычисляем интеграл: и записываем выражение: = .

3. Вычисляем: = , где произвольная постоянная величина , в зависимости от конкретных выражений для функций и , может быть записана и в виде выражений , и др.

4. Запишем общее решение уравнения: = .

Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения линейного уравнения, первым действием при решении линейного уравнения 1-го порядка всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..

••• •••

Пример 168: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Приводим уравнение к стандартной форме: .

2). Вычисляем интеграл: = = . Тогда: = = , или = .

Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).

3). Вычисляем: = = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 170: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Запишем уравнение в форме: , где = и = .

2). Вычисляем интеграл: =– = . Тогда: = = .

3). Вычисляем: = = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 272: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Уравнение соответствует стандартной форме: , отметим сразу, что переменная . Запишем также: и .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + + = + + , или, после очевидных преобразований: =

Замечание: интеграл в таблице интегралов: = + . Его нетрудно получить методом интегрирования по частям.

4). Запишем общее решение уравнения: = = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 474: Решить дифференциальное уравнение: = .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение имеет очевидное решение .

2). Теперь принимаем и приводим уравнение к стандартной форме: .


Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-04; просмотров: 104; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты