ЗАНЯТИЕ 4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли.

☺ ☻ ☺

Дифференциальное уравнение 1-порядка называют линейным, если входящие в него искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-й степени. Запись линейного уравнения считаем стандартной, если она имеет вид: , (1)

где и – непрерывные функции переменной или постоянные.

Для формы записи (1) используем стандартный алгоритм решения уравнения:

1. Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .

2. Вычисляем интеграл: и записываем выражение: = .

3. Вычисляем: = , где произвольная постоянная величина , в зависимости от конкретных выражений для функций и , может быть записана и в виде выражений , и др.

4. Запишем общее решение уравнения: = ∙ .

Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения линейного уравнения, первым действием при решении линейного уравнения 1-го порядка всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..

••• ≡•••

Пример 1–68: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Приводим уравнение к стандартной форме: .

2). Вычисляем интеграл: = = . Тогда: = = , или = .

Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).

3). Вычисляем: = = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = ∙ = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 1–70: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Запишем уравнение в форме: , где = и = .

2). Вычисляем интеграл: =– = . Тогда: = = .

3). Вычисляем: = = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = ∙ .

Ответ: = ∙ – общее решение.

Пример 2–72: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Уравнение соответствует стандартной форме: , отметим сразу, что переменная . Запишем также: и .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + + = + + , или, после очевидных преобразований: =

Замечание: интеграл в таблице интегралов: = + . Его нетрудно получить методом интегрирования по частям.