Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Замечание: Переход от записи решения в виде функции к записи подсказан исходным выражением вполне выразительно!..




Читайте также:
  1. A) принятие решения о финансировании одного из них не влияет на принятие решения о финансировании другого;
  2. Foreign Office – структура, функции…..
  3. Gt; во-вторых, когнитивной оценкой (cognitive appraisal), которую человек дает событию, требующему разрешения.
  4. I. Переход
  5. I. Функции государства — это основные направления его деятельности, в которых выражаются сущность и социальное назначение государства в обществе.
  6. II. Пример решения.
  7. III. Алгоритм решения кинематических задач
  8. III. Вегетативные функции НС.
  9. III. ЕСТЕСТВЕННАЯ РЕЛИГИЯ НА СТАДИИ ПЕРЕХОДА К РЕЛИГИИ СВОБОДЫ 1 страница
  10. III. ЕСТЕСТВЕННАЯ РЕЛИГИЯ НА СТАДИИ ПЕРЕХОДА К РЕЛИГИИ СВОБОДЫ 2 страница

3). Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .

4). Вычисляем интеграл: = = . Тогда: = = , или = .

5). Вычисляем: = = + = + .

6). Запишем общее решение уравнения: = = .

Ответ: = – общее решение. Из исходного уравнения также: – решение.

Пример 584: Найти частное решение ДУ: , удовлетворяющее условию: = .

Решение:

1). Запишем уравнение в стандартной форме: , где: и = .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + , или, после очевидных преобразований: = + .

Замечание: интеграл в таблице интегралов: = + . Его нетрудно получить методом интегрирования по частям.

4). Запишем общее решение уравнения: = . Из условия = получаем значение =1. Запишем частное решение: =

Ответ: = – частное решение.

☺E☺

Дифференциальные уравнения 1-порядка Бернулли: , (1)

где и – непрерывные функции переменной или постоянные, – произвольное число. Уравнение Бернулли интересно тем, что использованием стандартного приёма приводится к линейному уравнению, которое мы уже умеем решать!.. Вот этот приём:

1. Применим подстановку: и перепишем (1): .

2. Обозначив: = и = , запишем: – линейное уравнение в стандартной форме.

Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения уравнения Бернулли, первым действием всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..

••• •••

Пример 686: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Уравнение (1) есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения , при этом имеем: и .

2). Применим подстановку: = и перепишем (1) как: , то есть: , или , где = , = .

3). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .

4). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

5). Вычисляем: = + = + = = + .

6). Запишем общее решение уравнения: = , или = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 788: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Из уравнения (1) следует: – решение. Запишем уравнение Бернулли в стандартной форме: . (2)



2). Отметим в уравнении (2) параметры: , = и = .

3). Применим подстановку: = и перепишем (2) как: , то есть: , или , где = , = .

4). Далее решаем линейное уравнение: , записанное в стандартной форме, приняв .

5). Вычисляем интеграл: = = и записываем: = = .

6). Вычисляем: = + = + = .

7). Запишем общее решение уравнения: = . Если учесть , то получим: = , или =1.

Ответ: =1 – общее решение уравнения, также .

Пример 894: Решить дифференциальное уравнение: , y =1. (1)

Решение:

1). Из уравнения (1) следует: и – решение. Разделив равенство (1) на , получим уравнение Бернулли в стандартной форме: . (2)

2). Отметим в уравнении (2) параметры: , и .

3). Применим подстановку: = и перепишем (2) как: , то есть: , или , где , = .

4). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .

5). Вычисляем интеграл: = = и записываем: = = .

6). Вычисляем: = + = + = + = .



7). Запишем общее решение уравнения: = = . Если учесть , то получим: .

8). Через точку проходит интегральная кривая: , так как =4.

Ответ: – общее решение уравнения, также ; частное: .

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка?

2. Что значит: «стандартная форма» линейного уравнения, зачем её вводят?

3. Какова основная «идея» способа «подстановки» решения линейного уравнения?

4. Всегда ли можно «проинтегрировать» линейное ДУ?

5. Какие уравнения относят к уравнениям Бернулли?

6. В чем особенность интегрирования уравнения Бернулли?

7. Бывают ли уравнения Бернулли, которые невозможно «проинтегрировать»?

☺FE☺

ЗАНЯТИЕ 5. Однородные функции двух переменных. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Полный дифференциал функции двух переменных. Критерий Эйлера. Решение уравнений в полных дифференциалах.

Ауд. Л-4. Гл. 10 № 46-52 (чётные), 96-104 (чётные).

☺ ☻ ☺

Однородные функции и их использование в решениях однородных ДУ 1-порядка:

Функция называется однородной функцией порядка относительно переменных , если при любом верно: . В частном случае функция может оказаться такой, что . В этом случае, так как =1, говорят, что функция однородная нулевого порядка. Однородную функцию нулевого порядка можно представить в виде функции: = . Если функция однородная функция порядка относительно переменных , то её отношение к величине есть однородная функция нулевого порядка. В таком случае верно: = , что равносильно записи исходного определения: .



Однородные дифференциальные уравнения 1-порядка вида: . (1)

1). Запись (1) подсказывает, что исследуемый процесс определяется отношением величин и это отношение неплохо бы (подсказано!) назвать одной величиной: , то есть .

2). Так мы хотим, чтобы функция была решением уравнения (1), необходимо подставить её в исходное уравнение (по определению!)!.. Так как , после подстановки и в (1) получаем: , или (так как ) . (2)

3). Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными! Исследуем равенство: . Если имеется такое число , что , то , или есть решение уравнения (1).

4). Теперь примем: . Уравнение (2) запишем в виде: . Его интегрирование даёт общий интеграл (решение): . (3)

5). Будем считать, что интеграл в выражении (3) удалось вычислить: . Если в последнем заменить , получим общий интеграл уравнения (1): .

Однородные уравнения 1-порядка вида: . (4)

1). Если в записи (4) функции и однородные одного порядка, то его легко преобразовать к виду (1).

2). Как всегда, сначала попробуем выделить решения уравнения, используя (4). Если при значении случится , то прямая есть решение уравнения. Если при значении случится , то прямая есть решение уравнения.

3). Теперь и , уравнение (4) запишем в форме (1): . Далее по общему алгоритму!..

••• •••

Пример 146: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение не имеет очевидных решений.

2). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное! Примем и запишем: = .

3). Вычислим интеграл = = . Для функции получено общее решение:

4). Для функции получено общее решение: , или учитывая, что , перепишем общее решение с использованием : .

Ответ: – общее решение ДУ.

Пример 248: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение не имеет очевидных решений. Перепишем его в виде: − форма записи (1). В этой записи правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Примем и запишем: = = . Принимая: =0, выделяем решения: =0.

3). Теперь 0. Вычислим интеграл = = . Для функции получено общее решение:

4). Для функции общее решение: = , или = . Учитывая, что , перепишем общее решение: = .

Ответ: = – общее решение ДУ, также =0 (его Задачник прозевал!).

Пример 350: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение имеет очевидное решение: =0. Уравнение записано в форме (4). Легко заметить, что это уравнение однородное.

2). Так как решение =0 учтено, примем: и . Запишем уравнение: − форма записи (1). Примем и запишем: = = .

3). В нашем случае . Вычислим интеграл = = .

4). Для функции получено общее решение: = , или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : .

Ответ: – общее решение ДУ, также: =0 (из общего не выделяется ни при каком ).

Пример 452: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение не имеет очевидного решения. Легко заметить, что это уравнение однородное.

2). Запишем уравнение: − форма записи (1). Примем и запишем: = = .

3). В нашем случае . вычислим интеграл = = .

4). Для функции получено общее решение: = . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : = , или .

Ответ: = – общее решение ДУ, или .

☺E☺

Дифференциальное уравнение 1-порядка называют уравнением в полных дифференциалах, если входящие в него функции и непрерывны и дифференцируемы, а также выполняется условие: = , причём частные производные и – непрерывные функции в некоторой области .

Для решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах используем стандартный алгоритм:

1. Проверяем выполнение условия: = . Если условие выполняется, то заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Решение ищем в виде функции .

2. Имея функцию = , находим функцию: = + , где отражает ту часть функции , которая была потеряна при дифференцировании: . Для удобства обозначим: = .

3. Функцию находим из условия = , или + = . Для этого необходимо проинтегрировать: = , то есть вычислить интеграл: = .

4. Запишем решение: = + = .

••• •••

Пример 596: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . У нас: =1 и =1 → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: = = = .

3). Вычислим производную: = и запишем условие: = . Для заданного уравнения: = = .

4). Вычислим интеграл: = = = .

5). Запишем решение: = + = . У нас: + = .

Ответ: + = – общее решение.

Пример 698: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: = = = .

3). Вычислим производную: = и запишем условие: = . Для заданного уравнения: = = .

4). Вычислим интеграл: = = = .

5). Запишем решение: = + = . У нас: = .

Ответ: = – общее решение.

Замечания: 1). Пример интересен тем, что заданное ДУ можно отнести и к однородным уравнениям: функции и – однородные порядка 2. Если попробовать решать его по схеме однородного уравнения, то трудоёмкость процесса возрастет в разы: f(u)–u= –u= → J= .

2). Ещё большим будет интерес, если обратить внимание на ситуацию возможного равенства: =0. По основной теореме алгебры мы получим три корня: , , → получаем дополнительно три решения ДУ: , , – прямые, проходящие через начало координат.

3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!

Пример 7100: Решить дифференциальное уравнение: =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: = = = + .

3). Вычислим производную: = и запишем условие: = . Для заданного уравнения: = + + = .

4). Вычислим интеграл: = = = .

5). Запишем решение: = + = . У нас: + = .

Ответ: + = – общее решение.

Пример 8102: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: = = = .

3). Вычислим производную: = и запишем условие: = . Для заданного уравнения: = .

4). Вычислим интеграл: = =0.

5). Запишем решение: = + = . У нас: = .

Ответ: = – общее решение.

Пример 9104: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: = = = .

3). Вычислим производную: = и запишем условие: = . Для заданного уравнения: = = .

4). Вычислим интеграл: = = = .

5). Запишем решение: = + = . У нас: + = .

Ответ: + = – общее решение.

Вопросы для самопроверки:

1. Каковы стандартные формы однородных уравнений?

2. Какова стандартная схема решения однородных уравнений?

3. Какова стандартная форма уравнений, приводящихся к однородным уравнениям?

4. Как определяют ДУ в полных дифференциалах?

5. Как определить, что данное уравнение есть ДУ в полных дифференциалах?

6. Каков «стандартный алгоритм» решения ДУ в полных дифференциалах?

☺FE☺


Дата добавления: 2015-04-04; просмотров: 15; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.097 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты