Замечание: Переход от записи решения в виде функции к записи подсказан исходным выражением вполне выразительно!..

3). Решение уравнения ищем в виде функции: , где и .

4). Вычисляем интеграл: = = . Тогда: = = , или = .

5). Вычисляем: = = + = + .

6). Запишем общее решение уравнения: = ∙ = .

Ответ: = – общее решение. Из исходного уравнения также: – решение.

Пример 5–84: Найти частное решение ДУ: , удовлетворяющее условию: = .

Решение:

1). Запишем уравнение в стандартной форме: , где: и = .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + , или, после очевидных преобразований: = + .

Замечание: интеграл в таблице интегралов: = + . Его нетрудно получить методом интегрирования по частям.

Замечание: Для того, чтобы формально (как предписанную технологию) применять стандартный алгоритм решения уравнения Бернулли, первым действием всегда должно быть приведение конкретного уравнения к форме записи (1)!..

••• ≡•••

Пример 6–86: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Уравнение (1) есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения , при этом имеем: и .

2). Применим подстановку: = и перепишем (1) как: , то есть: , или , где = , = .

3). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .

4). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

5). Вычисляем: = + = + = = + .

6). Запишем общее решение уравнения: = ∙ , или = ∙ .

Ответ: = ∙ – общее решение.

Пример 7–88: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Из уравнения (1) следует: – решение. Запишем уравнение Бернулли в стандартной форме: . (2)

2). Отметим в уравнении (2) параметры: , = и = .

3). Применим подстановку: = и перепишем (2) как: , то есть: , или , где = , = .

4). Далее решаем линейное уравнение: , записанное в стандартной форме, приняв .

5). Вычисляем интеграл: = = и записываем: = = .

6). Вычисляем: = + = + = .

7). Запишем общее решение уравнения: = ∙ . Если учесть , то получим: = ∙ , или ∙ ∙ =1.

Ответ: ∙ ∙ =1 – общее решение уравнения, также .

Пример 8–94: Решить дифференциальное уравнение: , y =1. (1)

Решение:

1). Из уравнения (1) следует: и – решение. Разделив равенство (1) на , получим уравнение Бернулли в стандартной форме: . (2)

2). Отметим в уравнении (2) параметры: , и .

3). Применим подстановку: = и перепишем (2) как: , то есть: , или , где , = .

4). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .

5). Вычисляем интеграл: = = и записываем: = = .

6). Вычисляем: = + = + = + = .

7). Запишем общее решение уравнения: = ∙ = . Если учесть , то получим: .

8). Через точку проходит интегральная кривая: , так как =4.

Ответ: – общее решение уравнения, также ; частное: .

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка?

2. Что значит: «стандартная форма» линейного уравнения, зачем её вводят?

3. Какова основная «идея» способа «подстановки» решения линейного уравнения?

4. Всегда ли можно «проинтегрировать» линейное ДУ?

5. Какие уравнения относят к уравнениям Бернулли?

6. В чем особенность интегрирования уравнения Бернулли?

7. Бывают ли уравнения Бернулли, которые невозможно «проинтегрировать»?

☺FE☺

ЗАНЯТИЕ 5. Однородные функции двух переменных. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Полный дифференциал функции двух переменных. Критерий Эйлера. Решение уравнений в полных дифференциалах.

☺ ☻ ☺

Однородные функции и их использование в решениях однородных ДУ 1-порядка:

Функция называется однородной функцией порядка относительно переменных , если при любом верно: . В частном случае функция может оказаться такой, что . В этом случае, так как =1, говорят, что функция однородная нулевого порядка. Однородную функцию нулевого порядка можно представить в виде функции: = . Если функция однородная функция порядка относительно переменных , то её отношение к величине есть однородная функция нулевого порядка. В таком случае верно: = , что равносильно записи исходного определения: .

Однородные дифференциальные уравнения 1-порядка вида: . (1)

1). Запись (1) подсказывает, что исследуемый процесс определяется отношением величин и это отношение неплохо бы (подсказано!) назвать одной величиной: , то есть .

2). Так мы хотим, чтобы функция была решением уравнения (1), необходимо подставить её в исходное уравнение (по определению!)!.. Так как , после подстановки и в (1) получаем: , или (так как ) . (2)

3). Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными! Исследуем равенство: . Если имеется такое число , что , то , или есть решение уравнения (1).

4). Теперь примем: . Уравнение (2) запишем в виде: . Его интегрирование даёт общий интеграл (решение): . (3)

5). Будем считать, что интеграл в выражении (3) удалось вычислить: . Если в последнем заменить , получим общий интеграл уравнения (1): .

Однородные уравнения 1-порядка вида: . (4)

1). Если в записи (4) функции и однородные одного порядка, то его легко преобразовать к виду (1).

2). Как всегда, сначала попробуем выделить решения уравнения, используя (4). Если при значении случится , то прямая есть решение уравнения. Если при значении случится , то прямая есть решение уравнения.

3). Теперь и , уравнение (4) запишем в форме (1): . Далее по общему алгоритму!..

••• ≡•••

Пример 1–46: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение не имеет очевидных решений.

2). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное! Примем и запишем: = .

3). Вычислим интеграл = = . Для функции получено общее решение:

4). Для функции получено общее решение: , или учитывая, что , перепишем общее решение с использованием : .

Ответ: – общее решение ДУ.

Пример 2–48: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение не имеет очевидных решений. Перепишем его в виде: − форма записи (1). В этой записи правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Примем и запишем: = = . Принимая: =0, выделяем решения: =0.

3). Теперь 0. Вычислим интеграл = = . Для функции получено общее решение:

4). Для функции общее решение: = , или = . Учитывая, что , перепишем общее решение: = .

Ответ: = – общее решение ДУ, также =0 (его Задачник прозевал!).

Пример 3–50: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение имеет очевидное решение: =0. Уравнение записано в форме (4). Легко заметить, что это уравнение однородное.

2). Так как решение =0 учтено, примем: и . Запишем уравнение: − форма записи (1). Примем и запишем: = = .

3). В нашем случае . Вычислим интеграл = = .

4). Для функции получено общее решение: = , или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : .

Ответ: – общее решение ДУ, также: =0 (из общего не выделяется ни при каком ).

Пример 4–52: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение не имеет очевидного решения. Легко заметить, что это уравнение однородное.

2). Запишем уравнение: − форма записи (1). Примем и запишем: = = .

3). В нашем случае . вычислим интеграл = = .

4). Для функции получено общее решение: = . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : = , или .

Ответ: = – общее решение ДУ, или .

☺E☺

Дифференциальное уравнение 1-порядка называют уравнением в полных дифференциалах, если входящие в него функции и непрерывны и дифференцируемы, а также выполняется условие: = , причём частные производные и – непрерывные функции в некоторой области .

Для решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах используем стандартный алгоритм:

1. Проверяем выполнение условия: = . Если условие выполняется, то заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Решение ищем в виде функции .

2. Имея функцию = , находим функцию: = + , где отражает ту часть функции , которая была потеряна при дифференцировании: . Для удобства обозначим: = .

3. Функцию находим из условия = , или + = . Для этого необходимо проинтегрировать: = – , то есть вычислить интеграл: = .

4. Запишем решение: = + = .

••• ≡•••

Пример 5–96: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . У нас: =1 и =1 → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: = = = .

3). Вычислим производную: = и запишем условие: = – . Для заданного уравнения: = = .

4). Вычислим интеграл: = = = .

5). Запишем решение: = + = . У нас: + = .

Ответ: + = – общее решение.

Пример 6–98: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: = = = .

3). Вычислим производную: = и запишем условие: = – . Для заданного уравнения: = = .

4). Вычислим интеграл: = = = .

5). Запишем решение: = + = . У нас: = .

Ответ: = – общее решение.

Замечания: 1). Пример интересен тем, что заданное ДУ можно отнести и к однородным уравнениям: функции и – однородные порядка 2. Если попробовать решать его по схеме однородного уравнения, то трудоёмкость процесса возрастет в разы: f(u)–u= –u= → J= .