ЗАНЯТИЕ 1. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Приведение уравнений к каноническому виду. Построение кривой.

☺ ☻ ☺

Окружность: основные определения и формулы:

Если точка – произвольная точка плоскости, а точка – фиксированная точка, то = . Тогда – векторная форма записи окружности радиуса , в координатной форме уравнение окружности имеет вид:

→ нормальное уравнение.

Если центр окружности находится в начале координат (0,0), то уравнение (1) принимает простейший вид: → каноническое уравнение.

Если вместо выражения (1) имеем равенство: , то нетрудно получить выражение: .

В зависимости от величины Е могут реализоваться такие случаи:

1). > 0 , то есть → окружность: .

2). = 0 → , выполняется для одной точки (x₀,y₀) .

3). < 0 , то есть → – мнимая окружность.

••• ≡•••

Пример 1–242: Пусть – центр окружности, – радиус окружности, , , , – точки окружности. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

1) (2,–3), =7; 2) (2,6), (–1,2); 3) (3,2), (–1,6) – концы диаметра окружности; 4) (1,–1), прямая линия : =0 касается окружности; 5) (1,2) – точка окружности, окружность касается координатных осей; 6) (3,1), (–1,3) – точки окружности, принадлежит прямой : =0; 7) (–1,3), (0,2), (1,–1) – точки окружности.

Решение:

1). Сразу записываем уравнение окружности: .

2). Из условия имеем: = =(2,6)–(–1,2)=(3,4) → = =5. Тогда уравнение окружности: .

3). Так как центр окружности делит заданный отрезок пополам, то = , откуда: 2 = + =(2,8) → =(1,4). В то же время = =(–4,–4) → =2 . Тогда уравнение окружности: .

4). Радиус окружности равен расстоянию до касательной. Нормируем уравнение прямой линии и находим отклонение точки от этой прямой: = =2 → =2. Тогда – уравнение окружности.

5). Обозначим радиус окружности = . Учитывая свойство касания окружности осей координат, запишем уравнение окружности: . Так как точка принадлежит окружности, то необходимо: . Из уравнения получаем два корня: =1 и =5. Решение: или .

6). Точки (3,1) и (–1,3) выделяют на окружности хорду . Известна теорема, что прямая линия , проходящая через середину хорды окружности и ей перпендикулярная, проходит через центр этой окружности.

Найдём уравнение . Из равенства 2 = находим (1,2). Запишем =(–2,1)= . Тогда уравнение : , или .

Точку пересечения прямых линий и найдём из системы уравнений: находим координаты центра (2,4). Радиус окружности: = = = . Тогда: – уравнение искомой окружности.

7). Найдём уравнение . Из равенства 2 = находим . Запишем = , примем =(3,–1). Тогда уравнение : , или .

Найдём уравнение . Из равенства векторов = имеем 2 = , находим . Запишем = , примем =(1,–3). Тогда уравнение : , или .

Точку пересечения прямых линий и найдём из системы уравнений: → (–4,–1). Радиус окружности: = = =5. Тогда: – уравнение искомой окружности.

Ответ: 1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) .

Эллипс: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Если принять, что – большая полуось, то фокусы эллипса располагаются на оси , причём: = – левый фокус, = – правый фокус.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , – большая полуось, – малая полуось. Величины , , связаны соотношением: = – .

Важной характеристикой эллипса является величина: – эксцентриситет, которая определяет степень сжатия окружности вдоль оси .

Для вычисления расстояний до фокусов используют выражения: = , = , причём + =2 .

Особое место в свойствах эллипса занимают прямые линии: и – директрисы. Положение директрис определяет число: . Общий рисунок для эллипса:

••• ≡•••

Пример 2–249: Установить, что уравнение б): определяет эллипс. Найти его центр , полуоси, и уравнения директрис.

Решение:

1). Перепишем заданное уравнение: , или – это каноническое уравнение эллипса с центром .

2). Полуоси эллипса: =5, =4. Вычислим: = – =9. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = или : и : .

Ответ: б)центр ; полуоси: =5, =4; директрисы : , : .

Гипербола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть фокусы гиперболы располагаются на оси , причём: = – левый фокус, = – правый фокус. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: , причём < и . Эксцентриситет гиперболы: . Фокальные расстояния определяются выражениями: – левая ветвь → ( – ) =–2 ,

– правая ветвь → ( – ) =2 .

Директрисы гиперболы и определяются параметром . Асимптоты гиперболы определяют выражения: = ± .

Замечание: для принятого расположения фокусов ось называют действительной осью гиперболы, ось – мнимой осью.

••• ≡•••

Пример 3–265: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть гипербола, записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на оси .

2). Полуоси гиперболы: =3, =4. Вычислим: = + =25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = . Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

Ответ: а)уравнение гиперболы , =3, =4; б)фокусы = , = ; в) эксцентриситет = ; г) директрисы : =– , : = , асимптоты: = ± .

Пример 4–269 б): Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на прямой линии =1, с центром в точке (–5,1).

2). Воспользуемся параллельным переносом системы координат: , . Тогда уравнение принимает канонический вид, для которого все величины можно записать, используя простейшие формулы. Полуоси гиперболы: =8, =6. Вычислим: = + =100. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = . Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

3). Учитывая , , запишем уравнения для старой системы координат: для директрис : =– , : = и для асимптот –1 = ± . Фокусы: = , = .

Ответ: уравнение: , =8, =6; фокусы = , = ; эксцентриситет = ; директрисы : =– , : = , асимптоты: –1 = ± .

Парабола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до заданной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до заданной прямой, называемой директрисой.

В соответствии с определением параболы, отметим на плоскости точку – фокус и прямую : = – директрису:

Используя принятые на рисунке обозначения, в соответствии принятым определением параболы , легко получают каноническое уравнение параболы . Для параболы: – эксцентриситет.

Замечание: рисунок и расположение директрисы и фокуса соответствуют случаю, когда и осью параболы является ось .

••• ≡•••

Пример 5–285: Построить параболы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Найти параметр для каждой параболы.

Решение:

1). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось , её параметр = , ветви параболы направлены вправо.

2). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром = , ветви параболы направлены вверх.

3). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =2, причём график заданной параболы – это график параболы , симметрично отображённый относительно оси , ветви параболы направлены влево.

4). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром = , причём график заданной параболы – это график параболы , симметрично отображённый относительно оси , ветви параболы направлены вниз.

Ответ: 1) = ; 2) = ; 3) =2; 4) = .

Пример 6–288: Установить, что каждое заданное уравнение: 1) ; 2) ; 3) определяет параболу. Найти координаты вершины и параметр для каждой параболы.

Решение:

1). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром = , ветви параболы направлены вниз. График заданной параболы – это график параболы , смещённый вверх на 2: имеем .

2). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =3, ветви параболы направлены вниз. График заданной параболы – это график параболы , смещённый вправо на 6 и вниз на 1: имеем .

3). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром = , ветви параболы направлены влево. График заданной параболы – это график параболы , смещённый влево на 4 и вверх на 3: имеем .

Ответ: 1) = и ; 2) =3 и ; 3) = и .

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое окружность, эллипс?

2. Что такое гипербола?

3. Что такое парабола?

4. Что такое эксцентриситет кривой второго порядка?

5. Что такое директриса для кривой 2-го порядка?

F☺☺E

ЗАНЯТИЕ 2. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Конус. Цилиндрические поверхности. Приведение уравнений к каноническому виду. Построение эскизов поверхностей.

☺ ☻ ☺

Пример 1–372: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение трёхосного эллипсоида.

2). Центр фигуры находится в точке (0,0,0), причём: =3, =2, =5.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 27 в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: трёхосный эллипсоид с центром в точке (0,0,0), при: =3, =2, =5.

Пример 2–373: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

2). Центр фигуры находится в точке (0,0,0), причём: =4, =2, =6.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: однополостный гиперболоид с центром в точке (0,0,0), при: =3, =2, =6.

Пример 3–374: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0). При этом: = = =1.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: двуполостный гиперболоид вращения с центром (0,0,0), при = = =1.

Пример 4–375: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение конуса вращения второго порядка, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0). При этом: = = =1.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 29 в ответах задачника (внимательно посмотрите!). Учесть, что ось вращения .

Ответ: конуса вращения второго порядка (ось вращения ), центр (0,0,0), при = = =1.

Пример 5–376: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение параболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), причём: .

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: параболоид вращения: центр в точке (0,0,0); , не определено.

Пример 6–377: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение гиперболического параболоида.

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), причём: = =1, = .

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: гиперболический параболоид: центр в точке (0,0,0); , не определено.

Пример 7–393: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющей которого является окружность радиуса 2, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая, что образующая параллельна оси .

Ответ: в тексте.

Пример 8–394: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющей которого является гипербола =4, =3, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: в тексте.

Пример 9–395: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющая которого: − окружность, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая найденную образующую цилиндра.

Ответ: в тексте.

Пример 10–396: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющая которого: − парабола, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 в) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая, что образующая параллельна оси .

Ответ: в тексте.

Вопросы для самопроверки:

1. Как получают поверхности вращения 2-го порядка?

2. Как получают канонические уравнения поверхностей 2-го порядка?

3. Как применяют «метод сечений» для исследования поверхностей 2-го порядка?

4. Что такое «гиперболический параболоид», как получают его уравнение?

5. Мог ли инженер Гарин, используя гиперболоид, плавить руду и добывать золото?

6. Чем примечательна конструкция Останкинской телебашни?

☺FE☺