ЗАНЯТИЕ 10. Линейные неоднородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод неопределённых коэффициентов. Нахождение частного решения. 2 страница

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число .

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число .

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число .

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

Случай . Нахождение решения .

0). В этом случае в выражении (19) обращаются в нуль: и . Это значит, что левая часть равенства (19) теряет неопределённые коэффициенты и . Ситуация легко исправляется, если для нахождения решения вместо многочлена применять многочлен . Далее продолжение стандартно.

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число .

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число .

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число .

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

Случай - . Пусть: = , где – многочлен от степени , – многочлен от степени . В общем случае считаем , параметр , а значение параметра произвольно, включая значение .

Воспользуемся формулой Эйлера: = . Ничто не мешает вместо числа употребить число , именно: = . Но, в таком случае нетрудно получить формулы: = и = .

Воспользуемся полученными формулами для случая, когда принимает значения и запишем: = и = . Воспользовавшись этими формулами, запишем правую часть уравнения в виде:

= , (20)

или в виде: = + = + . (21)

Нетрудно заметить, что степень каждого из многочленов: и будет определяться числом = .

Замечание: В частном случае один из многочленов или может быть нулевым!..

Для удобства обозначим многочлены: и . Обозначим также числа: = и = . Учитывая результаты рассмотрения Случая решения неоднородного уравнения с правой частью = , нетрудно заметить правила построения формы записи решений для случая функции и для случая функции :

1). Если число не совпадает с характеристическими корнями и , то = . Если = или = , то = .

2). Если число не совпадает с характеристическими корнями и , то = . Если = или = , то = .

Особенность рассматриваемого случая в том, что числа и комплексно-сопряжённые, и их несовпадения и совпадения с характеристическими корнями будут происходить одновременно!

Учитывая выявленные особенности числа = , для случая можем определить общий алгоритм нахождения частного решения заданного неоднородного уравнения:

– значение числа = не является корнем характеристического уравнения (18), то есть и . В этом случае ищем частное решение в виде:

= , (22)

степени многочленов и определяются из условия: = .

– значение числа = является корнем характеристического уравнения (18), то есть = = . В этом случае ищем частное решение в виде:

= . (23)

Замечание: Случай, когда значение числа могло бы бать кратным корнем характеристического уравнения (18) для дифференциального уравнения 2-го порядка невозможен!..

Рассмотрим несколько примеров, которые подробно иллюстрируют правила записи общего вида частного решения с неопределёнными коэффициентами и затем нахождения решения для заданного уравнения – вычисление всех неопределённых коэффициентов.

••• ≡•••

0). Правая часть – специальная. Ей соответствует число .

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни =–1, =1. Построим ФСР: = , = .

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения: учитываем, что число совпадает с корнем = = ; тогда = . Остается найти неопределенный коэффициент .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные: = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем (сократив на ) тождество: , откуда легко находим: =– , и частное решение = .

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Из уравнения : получаем величину неопределённого коэффициента = .

Замечание. Уравнение : показывает тождество . Так как при вычислении неопределённых коэффициентов на основании тождества, получаемого для функции , уравнений всегда больше, чем неизвестных, то тождества всегда будут. Их польза в том, что они помогают обнаруживать возможные ошибки при составлении тождества (ошибки вычисления производных функции ).

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + .

Ответ: общее решение: = .

Пример 2–360: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Ей соответствует число .

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни = . Построим ФСР: = , = .

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число совпадает с характеристическими корнями , получаем = . Остается найти неопределенные коэффициенты .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные: = ,

= .

Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество:

+

+ = ,

откуда находим значения: и записываем = .

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Из уравнения : получаем =1, из уравнения : получаем =0, из уравнения : получаем =0, из уравнения : получаем =1.

Замечание. Применение черновика способствует развитию навыков: 1) на основании полученного тождества записывать необходимые уравнения для соответствующих неопределённых коэффициентов; 2) из полученной системы уравнений быстро и безошибочно вычислять неизвестные коэффициенты.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + .

Ответ: общее решение: = + .

Пример 3–362: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число .

1). Найдем характеристические корни: уравнение → корни =– , = . Построим ФСР: = , = .

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число не совпадает с характеристическими корнями и , получаем = . Остается найти неопределенные коэффициенты .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную: = . Подставив и в уравнение, получим тождество:

– = ,

откуда находим значения: =–1, =0, =0, и записываем = .

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Запись системы уравнений в такой (стандартной) форме позволяет достаточно просто решить систему: мы просто видим решение =–1, =0, =0, . В случае несовпадения с ответом задачника быстро находить ошибке: она либо в процессе приравнивания коэффициентов при однородных членах, либо в производных.