ЗАНЯТИЕ 11. Метод вариации постоянных для линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Уравнение Эйлера.

☺ ☻ ☺

Общее о применении метода вариации постоянных величин:

Пусть задано линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с коэффициентами, зависящими от переменной : .

Для неоднородного уравнения записывают соответствующее ему однородное и находят его общее решение: = , где функции и независимые решения однородного уравнения. После этого (как и в случае линейного неоднородного уравнения 1-го порядка) произвольные постоянные величины и объявляются некоторыми функциями переменной с требованием, чтобы функция = была решением неоднородного уравнения!

В соответствии с определением решения, вычислим производную объявленной функции-решения: = . (4)

Так как в выборе функций и есть определённые произвол, потребуем от этих функций выполнения требования: =0. С учётом этого требования, вычислим производную для объявленной функции: = . Подставим в исходное уравнение выражения для функций , , :

+ + = . (5)

Потребуем от искомой функции выполнения условия: = . Объединив требования, запишем систему уравнений: (6)

Как следует из записи (6), требования к функциям и преобразовались в требования к их производным: и , которые должны удовлетворять системе линейных уравнений. Возможно ли выполнение таких сложных требований?

Так как функции и – независимые решения однородного уравнения, то определитель Вронского: = 0. Это значит, функции и будут вычислены (например, по правилу Крамера) однозначно. Для нахождения функций и остаётся вычислить интегралы:

= + , = + . (7)

В выражении (7) величины и являются произвольными постоянными интегрирования. Используя (7), запишем, полученное методом вариации произвольных постоянных величин, общее решение исходного, неоднородного, уравнения:

= + + . (8)

или: = + = y₁+ y₂+ . (9)

Вывод: Для решения неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных величин необходимо реализовать как действия Этапа – найти общее решение однородного уравнения, так и действия Этапа – вычисление . Требования к совокупности функций и (линейная независимость!) гарантируют вычисление и построение общего решения заданного уравнения = + !

••• ≡•••

Пример 1–342: Решить дифференциальное уравнение: методом вариации произвольных постоянных величин.

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни =–1, =–2. Построим ФСР: , . Составим общее решение однородного уравнения: = .

2). Составим систему уравнений: или: Её решение: = = , = =– . Интегрирование выражений для функций и достаточно просто, получаем: = , = .

Черновик:

а). Обозначим уравнения системы: , . Если записать: 2 + , сразу получаем уравнение с одной неизвестной: = , откуда = = . Обозначив: = , вычислим = . Тогда = = = , где = .

б). Если записать: + , получаем: = , откуда = = . Обозначив: = , вычислим = . Тогда вычисление функции очевидно и просто: = = = = , где = .

3). Запишем решение: = + = + , получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

= + = + + .

.

Так как слагаемое можно включить в слагаемое (свойство произвольной постоянной величины), окончательно запишем: .

Ответ: общее решение: .

Пример 2–344: Методом вариации постоянных величин решить ДУ: = .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни =1 – кратный корень. Построим ФСР: = , = . Запишем = .

2). Составим систему уравнений: или: Её решение: = = , = = . Интегрирование выражений для функций и достаточно просто, получаем: = , = .

Черновик:

а). Обозначим уравнения системы: , . Если записать: − , сразу получаем уравнение с одной неизвестной: = , откуда = = . Вычислим функцию: = = = .

б). Из уравнения получаем: = = . Тогда вычисление функции очевидно и просто: = = = .

3). Запишем решение: = + = + , получим общее решение: = + = + + .

Ответ: общее решение: .

☺E☺

Общее о решении уравнений Эйлера:

До сих пор мы рассматривали линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Представляет интерес рассмотреть уравнение с переменными коэффициентами специального вида: , (1)

где - постоянные числа; q(x) – заданная функция; каждый коэффициент уравнения – степенная функция, причем степень коэффициента равна порядку производной, при которой он стоит. Такое уравнение называют уравнением Эйлера. Для решения уравнения (1) используют два способа.

Способ-1. Используется подстановка: а) , если ; б) , если .

Так как и , то . Используя формулы вычисления производных для функций, заданных в параметрической форме, можем записать:

(2)

Так как особенности решения уравнения Эйлера вполне проявляются при решении уравнения 3-го порядка, примем . Подставим производные (2) в уравнение (1) для случая , причём, для лучшей читаемости дальнейших выражений, в записи производных не станем применять индекс t: ,

или окончательно: . (3)

Замечание: 1). При решении конкретного уравнения Эйлера 3-го и 2-го порядков не следует каждый раз получать формулу (3) заново.

2). В записи уравнения 3-го порядка использование коэффициента позволяет получать результаты для уравнения 2-го порядка при значении .

Уравнение (3) является линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Его решение ищут в виде по известному алгоритму. Для записи окончательного выражения решения исходного уравнения используют замену: .

Способ-2. Применяется подстановка: . В этом случае вычисление необходимых производных совсем просто: Подставляя эти производные в уравнение (1) для случая получаем, после деления на общий множитель , уравнение:

. (4)

Легко заметить, что уравнение (4) для уравнения (3) можно считать характеристическим, хотя получено оно для других целей.

При решении алгебраического уравнения (4) в общем случае получим действительные и комплексные корни. Пусть = . Учитывая: = , запишем = , или = → = и = . (5)

Если уравнение Эйлера неоднородное, для применения Способа-1 необходимо переписать правую часть: .

Пример 3–377: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: .В нашем случае: , . Используя формулу (3), получаем: → .

1). Из характеристического уравнения имеем: = и ФСР: = , = .

2). Общее решение: = , где .

Ответ: общее решение уравнения: = , где .

Способ-2.

0). Применим подстановку: .Учитывая результаты применения Способа-1, сразу записываем уравнение: и вычисляем: = .

1). Учитывая (5), записываем ФСР: = и = .

2). Общее решение: = .

Ответ: общее решение уравнения: = .

Замечание: обратим внимание на особенности применения второго способа в связи с преобразованием (5) для случая комплексных корней !

Пример 4–378: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: = .В нашем случае: , . Используя формулу (3), получаем: → , правая часть функция: = – специальная. Ей соответствует число: = .

1). Из уравнения имеем: = и ФСР: = , = .

2). Общее решение однородного уравнения: = = , где .

3). Составим выражение для частного решения . Учитывая, что число = не совпадает с характеристическими корнями и , получаем = . Остается найти неопределенный коэффициент .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную: = , = . Подставив , и в уравнение, получим =2 и = .

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + = + . Учитывая выражение , запишем: = + .

Ответ: общее решение уравнения: = + .

☺F☺

Пример 5–280: Доказать теорему: если есть частное решение линейного однородного уравнения , то функция = тоже является решением этого уравнения, а функция = есть его общее решение.

Решение:

Замечание: Этот Пример предполагает наличие у успешно сдавшего ЕГЭ системы знаний по предмету, умения рассуждать и хорошей памяти!..

1) Для осознанного решения задачи необходимо студент должен вспомнить:

Ÿ Определение неопределённого интеграла: если , то .

Ÿ Правило вычисления производной сложной функции: если = , то = .

Ÿ Правило вычисления производной функции: если = , то = , если = , то = .

2). Учитывая, что громоздкие выражения многие воспринимают с трудом, введём обозначения: = = , = = , = = , = . Вычислим производные обозначенных функций: = = , = , .

3). Функция будет решением заданного уравнения, если, подставив её в это уравнение, получим тождество. Вычислим: = + = + = + . Имея производную , вычислим вторую производную :

= + = + – – =

= – (польза принятых обозначений очевидна).

4). Подставим и её производные в заданное дифференциальное уравнение:

– + + + .

Тождество получено с учётом, что функция есть решение заданного уравнения (и здесь очевидна польза принятых обозначений).

5). Так как функции и есть решения заданного уравнения и линейно независимы (это видим из записи для функции ), то можем записать общее решение: = (применяем известную теорему).

Замечание: Этот Пример слишком сложен даже для успешно сдавшего ЕГЭ. Применение компактных обозначений значительно снижает нагрузку на образное мышление, но требует неторопливой работы преподавателя с аудиторией: понять должны все!..

Ответ: теорема доказана.

Вопросы для самопроверки:

1. Чем отличается неоднородное линейное уравнение от уравнения однородного?

2. Как получают общее решение неоднородного линейного уравнения?

3. Что такое частное решение неоднородного уравнения?

4. Что такое «метод вариации произвольных постоянных»?

5. Что такое уравнение Эйлера?

6. Какие стандартные способы решения однородного уравнения Эйлера?

7. Какие стандартные способы решения неоднородного уравнения Эйлера?

☺FE☺