ЗАНЯТИЕ 10. Линейные неоднородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод неопределённых коэффициентов. Нахождение частного решения. 3 страница

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + .

Ответ: общее решение: = .

Пример 4–364: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни =0, =3. Построим ФСР: =1, = . Запишем = .

2). Правая часть имеет вид: = + – сумма специальных → воспользуемся свойством «аддитивности».

3). Для специальной функции = → число = → можно сразу записать: = . Обнаруживаем совпадение числа с корнем , корректируем запись: = .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные: = , = . Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество: –3 = , откуда легко находим: = , и частное решение = .

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: = .

5). Для специальной функции = → число = → можно сразу записать: = . Число совпадает с корнем =0, корректируем запись: = .

6). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные: = , = . Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество: и легко находим: =3, =2, и частное решение = .

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: =3, =2.

7). Частное решение для исходного уравнения: = + . Общее решение: = +

Ответ: = + + .

Пример 5–366: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число .

1). Найдем характеристические корни: уравнение → корни =1– кратность корня 3. Построим ФСР: = , = = .

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число совпадает с характеристическими корнями , и , получаем = . Остается найти неопределенный коэффициент .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную: = , = , = . Подставив , , и в уравнение, получим тождество:

–3 +3 = ,

откуда находим значения: и записываем = .

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: . Наличие трёх тождеств типа: ожидалось (согласно теории систем линейных уравнений для случая, когда решение обязательно есть и единственное).

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + .

Ответ: общее решение: = + .

Пример 6–368: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни =–1, =1, = . Построим ФСР: = , = , = , = . Общее решение однородного уравнения: .

2). Правая часть имеет вид: = + – сумма специальных → воспользуемся свойством «аддитивности».

3). Для специальной функции = → число = → можно сразу записать функцию: = . Обнаруживаем совпадение числа с корнем , корректируем запись функции: = .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные: = . Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество: – = , откуда легко находим: = , =– и частное решение = .

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: = , =– . Наличие одного тождества типа: ожидалось (согласно теории систем линейных уравнений для случая, когда решение обязательно есть и единственное).

5). Для специальной функции = → число = → можно сразу записать функцию: = . Число совпадает с корнем , корректируем запись функции: = .

6). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные: = . Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество: = и легко находим: =0, =– , и частное решение = .

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: =0, =– . Ожидалось наличие двух тождеств типа: (для однородных членов, содержащих множители и ), но они взаимно уничтожились.

7). Частное решение для исходного уравнения: = + . Общее решение: = +

Ответ: = + .

☺E☺

Пример 7–370: Решить линейное неоднородное уравнение: , , .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число .

1). Найдем характеристические корни: уравнение → корни =0, =2. Построим ФСР: =1, = .

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число не совпадает с характеристическими корнями и , получаем = . Остается найти неопределенный коэффициент .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную: = , = . Подставив , и в уравнение, получим =–2 и = .

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + = .

6). Решаем задачу Коши. Вычислим = и запишем систему уравнений, соответствующую заданным начальным условиям:

откуда имеем: = и = .

Ответ: частное решение: = .

Пример 8–372: Решить линейное неоднородное уравнение: , y(0)=1, = .

Решение:

1). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число = .

2). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни = . Построим ФСР: = , = . Запишем: .

3). Составим выражение для частного решения: учитываем, что число не совпадает с характеристическими корнями; тогда = . Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные: = . Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество: 0+4 = и легко находим: = , =0 и частное решение = .