ЗАНЯТИЕ 10. Линейные неоднородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод неопределённых коэффициентов. Нахождение частного решения. 4 страница

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: = , =0. Наличие тождеств типа: не ожидалось, так как сразу было видно, что для вычисления двух неизвестных величин будем иметь систему двух линейных уравнений.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + = + . Используя начальные условия, легко вычисляем =1, = и соответствующее частное решение: = + .

Ответ: частное решение: = + .

Пример 9–374: Решить линейное неоднородное уравнение: , =0, =2, =4, =6.

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни =–1, =1, = . Построим ФСР: = , = , = , = . Общее решение однородного уравнения: .

2). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что для функции = число = совпадает с характеристическим корнем , получаем = . Остается найти неопределенный коэффициент .

3). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные: = . Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество: =8, откуда: =2 и частное решение = .

4). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + и вычислим все, необходимые производные: = ,

= ,

= .

5). Для заданных начальных условий получим: а) , б) , в) , г) . Решение системы: =0. Это значит, что частное решения уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: = .

Черновик:

а). Запись системы уравнений в одну строку затрудняет её быстрое (и безошибочное) решение. Воспользуемся записью системы в виде:

б). Обозначим уравнения: , , , . Легко заметить: 1) записав + , получаем =0, 2) записав − , получаем =0, 3) учитывая = =0, из уравнения получаем =0, 4) учитывая = =0, из уравнения получаем =0.

Ответ: частное решение: = .

Пример 10–376: Решить линейное неоднородное уравнение: , учитывая начальные условия , .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни = . Построим ФСР: = , = .

2). Составим общее решение однородного уравнения: = + .

3). Составим выражение для частного решения: учитываем, что число = совпадает с характеристическими корнями ; тогда = . Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную: = ,

= .

Подставляя функцию и её производную в уравнение, легко находим: =0, =2 и частное решение = .

Черновик:

а). Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем (после деления на ) тождество: −

−2 +

+2 = .

б). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

в). Из уравнения : получаем =2, из уравнения : получаем =0. Из уравнения : получаем тождество , вычитая из уравнения уравнение : получаем тождество (что можно было предполагать, вспоминая метод Гаусса).

Замечание. То, что в основном тексте объявлена лёгкость вычисления величин и , теперь можно воспринимать как шутку!..

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: = + . Используя начальные условия, легко вычисляем = , = и соответствующее частное решение: = + , или = .

Черновик:

а). Используя начальные условия, запишем:

= + + = → = ,

= + + =

= → = .

б). Записываем частное решение: = .

Замечание. И здесь, объявленная в основном тексте лёгкость вычисления величин и требует внимательной (и громоздкой) работы с тождественными преобразованиями и вычислениями!..

Ответ: частное решение: = .

Вопросы для самопроверки:

1. Чем отличается неоднородное линейное уравнение от уравнения однородного?

2. Как получают общее решение неоднородного линейного уравнения?

3. Что такое частное решение неоднородного уравнения?

4. Что такое «метод вариации произвольных постоянных»?

5. Как записывают , если = ?

6. Как записывают , если = ?

7. Как записывают , если = ?

8. Как записывают , если = ?

☺FE☺