ЗАНЯТИЕ 10. Линейные неоднородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод неопределённых коэффициентов. Нахождение частного решения. 1 страница

☺ ☻ ☺

Общие сведения. Пусть имеем линейное неоднородное дифференциального уравнения - го порядка: , (1)

коэффициенты , ,..., и – заданные непрерывные функции переменной (или постоянные). Необходимо найти функцию как решение уравнения (1).

Оказывается, независимо от того, в какой форме задана функция уравнения (1), решают в два этапа:

Этап : Для заданного линейного неоднородного уравнения (1) записывают соответствующее однородное уравнение: . (2)

Решая линейное однородное уравнение (2), находят его общее решение: .

Этап : Для заданного линейного неоднородного уравнения (1) находят (любым доступным способом) частное решение: и записывают его общее решение: = + .

Решая линейное однородное уравнение (2), находят его общее решение: .

Случай-1. Функция произвольная → применяют метод «вариации произвольных постоянных».

Пусть задано линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с коэффициентами, зависящими от переменной : .

Для неоднородного уравнения записывают соответствующее ему однородное и находят его общее решение: = , где функции и независимые решения однородного уравнения. После этого (как и в случае линейного неоднородного уравнения 1-го порядка) произвольные постоянные величины и объявляются некоторыми функциями переменной с требованием, чтобы функция = была решением неоднородного уравнения!

В соответствии с определением решения, вычислим производную объявленной функции-решения: = . (4)

Так как в выборе функций и есть определённые произвол, потребуем от этих функций выполнения требования: =0. С учётом этого требования, вычислим производную для объявленной функции: = . Подставим в исходное уравнение выражения для функций , , :

+ + = . (5)

Потребуем от искомой функции выполнения условия: = . Объединив требования, запишем систему уравнений: (6)

Как следует из записи (6), требования к функциям и преобразовались в требования к их производным: и , которые должны удовлетворять системе линейных уравнений. Возможно ли выполнение таких сложных требований?

Так как функции и – независимые решения однородного уравнения, то определитель Вронского: = 0. Это значит, функции и будут вычислены (например, по правилу Крамера) однозначно. Для нахождения функций и остаётся вычислить интегралы:

= + , = + . (7)

В выражении (7) величины и являются произвольными постоянными интегрирования. Используя (7), запишем, полученное методом вариации произвольных постоянных величин, общее решение исходного, неоднородного, уравнения:

= + + . (8)

или: = + = y₁+ y₂+ . (9)

Вывод: Для решения неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных величин необходимо реализовать как действия Этапа – найти общее решение однородного уравнения, так и действия Этапа – вычисление . Требования к совокупности функций и (линейная независимость!) гарантируют вычисление и построение общего решения заданного уравнения = + !

Случай-2. Функция специальная → применяют метод «неопределенных коэффициентов».

Функцию называют специальной, прежде всего из-за того, что её запись имеет специальную (стандартную) форму: = , (16)

в записи (16) множитель – многочлен от степени , множитель – многочлен от степени : в общем случае считаем ; и – действительные числа.

Замечание: Будем считать, что многочлены и присутствуют в записи (16) всегда, даже и в тех случаях, когда один из них равен нулю!..

При построении алгоритмов решения конкретных уравнений важную роль будет играть число: = , которое использует параметры и выражения (16). Выделим частные случаи построения функции :

– Классификационным признаком случая будем называть число = , причём в частном случае может быть равно нулю. Это значит, что число - обязательно действительное.

– Классификационным признаком случая будем называть число = , причём . Это значит, что число - обязательно комплексно-сопряжённое.

Замечание: Выделение случаев и может показаться неожиданным! Но, ведь естественно сначала провести исследования с давно привычным действительным числом, а потом выявлять особенности применения комплексного числа!..

Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и установлено, что его правая часть имеет специальный вид (16), то этот факт считают классификационным признаком: такое уравнение решают, применяя стандартный алгоритм! Логика этого факта: функция – специальная → применяем специальный (стандартный) алгоритм решения!

Замечание: Если в записи одновременно выделяется несколько чисел , например, числа: = и = , применяют свойство аддитивности (по Теореме 9.3). В таком случае решают две задачи. Для функции находят решение , для функции – решение , затем их объединяют в виде суммы решений: = + .

Изучение метода неопределённых коэффициентов (как и при изучении метода вариации произвольных постоянных) целесообразно начинать в применении к дифференциальным уравнениям 2-го порядка: в таком случае алгоритм решения уравнения будет менее громоздок, чем в случае уравнения - го порядка. Изучив все особенности применения метода неопределённых коэффициентов с использованием уравнений 2-го порядка, нетрудно будет определить обобщение для случая уравнений - го порядка.

Пусть задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , где – специальная функция. (17)

Как всегда, решить линейное уравнение – значит найти его общее решение: = + . Начинают с простого, находят общее решение однородного уравнения: . Запишем его характеристическое уравнение: . (18)

Найдя характеристические корни уравнения (18) и , в соответствии с теорией линейных однородных дифференциальных уравнений, запишем ФСР уравнения (17): , и его общее решение: = .

Так как алгоритм поиска частного решения существенно зависит от конкретной записи специальной функции , рассмотрим несколько случаев записи этой функции.

Случай - . Так как = , то правая часть уравнения: = , где – многочлен от степени , – некоторое действительное число.

Так как функция задана, то в многочлене = все коэффициенты: , ,..., – известные действительные числа. Учитывая опыт дифференцирования функции, заданной многочленом, а также показательной функции вида , можем догадаться, что частное решение уравнения (17) следует искать в виде функции: = . Заметим, в записи многочлена = все коэффициенты: , ,..., – неопределённые действительные числа, подлежащие вычислению!

Далее вычисляем: = и = . Поставляем функции , и в заданное уравнение (17) → после деления равенства на общий (не равный нулю!) множитель , получаем тождество:

= . (19)

Для удобства дальнейших рассуждений обозначим многочлен левой части равенства (19), с учётом присутствия параметра , как . Тогда равенство (19) следует понимать как тождественное равенство многочленов и .

Замечание: В соответствии с теорией многочленов (высшая алгебра) многочлены и тождественны (неразличимы!), если:

1) степени многочленов совпадают, то есть ;

2) коэффициенты при одинаковых степенях многочленов совпадают.

Оказывается, степень многочлена зависит от значения параметра , причём существенными оказываются случаи:

– значение числа = не является корнем характеристического уравнения (18), то есть и . В этом случае степень многочлена равна ;

– значение числа = является простым корнем характеристического уравнения (18), то есть = и . В этом случае степень многочлена равна ;

– значение числа = является кратным корнем характеристического уравнения (18), то есть = = степень многочлена равна ;

Нетрудно догадаться (в соответствии с определением равенства двух многочленов), что тождество (19) возможно лишь в случае .

Случай . Нахождение решения .

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число .

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число .

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число .

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

Случай . Нахождение решения .

0). В этом случае в выражении (19) слагаемое обращается в нуль и левая часть равенства (19) теряет неопределённый коэффициент . Ситуация легко исправляется, если для нахождения решения вместо многочлена применять многочлен . Далее продолжение стандартно.