ЗАНЯТИЕ 9. Линейные однородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Построение ФСР при различных случаях корней характеристического уравнения.

☺ ☻ ☺

Общие сведения-1. При выполнении задания необходимо знать, что характеристические корни находят из характеристического уравнения. Характеристическое уравнение строят, формально заменяя в линейном однородном дифференциальном уравнении - го порядка с постоянными коэффициентами производную на степень :

, (1)

причем запись (1) можно реализовать в обоих направлениях: имея ДУ, построить характеристическое уравнение, и наоборот.

Если известны корни характеристического уравнения: , можно восстановить характеристическое уравнение (согласно известной теореме алгебры о разложении многочлена - степени в произведение линейных множителей):

, (2)

учитывая тождественность многочленов левой и правой частей (2).

Из школьной алгебры наиболее известен частный случай записи (2) для многочлена 2-й степени (теорема Вьета): , (3)

где и получены из тождественности левой и правой частей выражения (3).

Если значение коэффициента не задано, принимают = 1, что при выполнении заданий и следует применять.

Задача-1. Пусть заданы характеристические корни: некоторого дифференциального уравнения. Имея эти корни, записать ДУ, для которого числа являются характеристическими корнями.

Выполняем стандартные действия:

1). Запишем характеристический многочлен, используя формальную запись:

. (4)

2). В выражении (4) раскрываем все скобки, приводим подобные члены и записываем характеристический многочлен, начиная со старшего члена по убыванию.

В результате выполнения этого действия, получаем характеристический многочлен:

. (5)

Замечание: Если многочлен записан в форме (5), то (по теореме Виета) часто оказываются полезными соотношения: а) = ; б) = , если степень многочлена – чётное число; в) = , если степень многочлена – нечётное число.

3). Имея выражение (5), строим ДУ, которому соответствует данный характеристический многочлен: . (6)

4). Записываем ответ: – искомое дифференциальное уравнение.

Замечание: запись (6) можно прочитывать как слева направо, так и справа налево, что важно при решении дифференциального уравнения!

Общие сведения-2. Наибольшие затруднения при решении дифференциального уравнения вызывает запись фундаментальной системы решений. Рассмотрим подробнее правила формирования ФСР по найденным характеристическим корням дифференциального уравнения:

Задача-2. Пусть характеристические корни: некоторого дифференциального уравнения вычислили (используя теорию многочленов). Так как мы рассматриваем только случай линейных дифференциальных уравнений с действительными коэффициентами, то среди корней могут быть действительные: простые или кратные, а также комплексно-сопряжённые: простые или кратные. Имея корни: , необходимо построить ФСР для заданного дифференциального уравнения.

Выполняем стандартные действия для каждого характеристического корня:

1). Пусть характеристический корень действительный: = = . Этот корень порождает для включения в ФСР:

а) функцию: , если характеристический корень простой;

б) функции: , , , , , если характеристический корень имеет кратность .

2). Пусть характеристический корень комплексно-сопряжённый: = . Этот корень порождает для включения в ФСР:

а) пару функций: и , если характеристический корень простой;

б) если характеристический корень имеет кратность , то удобно использовать запись набора функций: , , , , ;

, , , , .

Замечание: Если для каждого характеристического корня построен набор функций, соответствующий его кратности, то ФСР заданного дифференциального уравнения n-го порядка получит ровно n функций-решений этого уравнения!

••• ≡•••

Пример 1–322: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение : , его корни: = .

Черновик:

а). Нетрудно оценить (без точных вычислений), что корни уравнения комплексные: = . Это значит, что + = и ž = .

б). У нас (по теореме Виета) + = , значит: = . Так как (у нас) =13, то нетрудно получить: = =4. Тогда и = .

2). Учитывая пункт 2) решения Задачи-2, составляем ФСР: , и общее решение уравнения: .

Ответ: ФСР: , . Общее решение: .

Пример 2–324: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение : , его корни: =2, = .

Черновик:

а). Нетрудно угадать корень =2 (обычно автор задачи дарит легко угадываемый целый корень). После этого перепишем уравнение = .

б). Далее (по теореме Виета) остаётся воспользоваться формулой: = = .

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составляем ФСР: = , = , и общее решение уравнения: = .

Ответ: ФСР: = , = . Общее решение: = .

Пример 3–326: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Запишем характеристическое уравнение : , его корни: = , кратные.

Черновик:

а). В этом Примере, чтобы легко угадать корень перепишем уравнение : .

б). Теперь очевидна запись : , из которой следует: = = .

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составляем ФСР: = , = = и общее решение уравнения: .

Ответ: ФСР: = , = . Общее решение: y= .

Пример 4–328: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим уравнение : , его корни: = , = .

Черновик:

а). В этом Примере, легко заметить, что корни уравнения : могут быть только комплексные. Примем = и перепишем уравнение : .

б). Так как мы предположили, что корни могут быть комплексными, требование (для случая действительных корней) не применяем. В таком случае решение для уравнения легко угадывается. После чего, получаем: .

в). Учитывая обозначение: = , запишем = и = .

2). Учитывая пункт 2) решения Задачи-2, составим ФСР: = , = , = , = . Тогда: = − общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

Пример 5–330: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение : , его корни: =0 − кратные, =1 и = .

Черновик:

а). Перепишем уравнение в виде : .

б). Учитывая теорему Безу, можем записать корни уравнения : =0, =1 и = .

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составим ФСР: =1, = = , = , = и запишем: = − общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

Пример 6–332: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение : , его корни: = − кратные, = − кратные.

Черновик:

а). Перепишем уравнение в виде : .

б). Учитывая теорему Безу, запишем корни уравнения : = = − корень кратности 2, = = − корень кратности 2.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составим ФСР: = , = = , = , = = . Тогда: = − общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

Пример 7–334: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение : , его корни: =0 – кратности 3, =3 – кратности 2.

Черновик:

а). Перепишем уравнение в виде : .

б). Учитывая теорему Безу, запишем корни уравнения : =0 – кратности 3, =3 – кратности 2.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составим ФСР: = , = = , = = , = , = = и запишем: − общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

Пример 8–336: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение : , его корни: =0 – кратности 4, = – кратности 2.

Черновик:

а). Перепишем уравнение в виде : .

б). Учитывая теорему Безу, запишем корни уравнения : =0 – кратности 4, = – кратности 2.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составим ФСР: = , = = , = = , = = , = , = = . Тогда: − общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

☺E☺

Пример 9–338: Найти частное решение ДУ: , , .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни: =1 – кратный.

2). Составляем ФСР: , и общее решение: = . Найдем производную: .

3). Для заданных начальных условий: = , = . Находим: , . Следует частное решение: .

Черновик:

а). Запишем определяемую начальными условиями систему в виде:

б). Вычитая из второго уравнения системы первое уравнение, сразу получаем: . Подставляя это значение в первое уравнение, сразу (устно!) получаем: .

в). Используя найденные значения, записываем частное решение: = . Эту запись можно считать учебным Ответом к Примеру. Если мы предполагаем использование решения в практических целях, то удобнее запись: .

Замечание: В каждом частном Примере (задаче) нужно предполагать практическое использование получаемых результатов некоторыми специалистами. Это значит, что нужно найденное решение оформлять в виде максимально удобной технологии для выполнения вычислительных операций и исследований!

Ответ: частное решение: .

Вопросы для самопроверки:

1. Имеем совокупность функций. Что значит: функции линейно зависимы?

2. Что такое «определитель Вронского»?

3. Как определить, зависимы или нет функции данной совокупности?

4. Что такое «фундаментальная система решений – ФСР»?

5. Может ли понятие ФСР применяться к неоднородным уравнениям?

6. Как записывают общее решение линейного однородного дифференциального уравнения?

7. Каковы свойства общего решения ДУ?

8. Что значит решить задачу Коши для ДУ второго порядка?

9. Какова роль определителя Вронского при решении задачи Коши для ДУ n-го порядка?

☺FE☺