Скорость точки

.

Скоростью в данный момент времени называется предел отношения сектора перемещения точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение, когда этот промежуток времени стремится к нулю, т.е.

.

Размерность скорости будет

.

Единицами измерения могут быть , , .

Из этого определения видно, что скорость точки равна произведению радиуса-вектора точки по времени. На рис. показаны средняя скорость и скорость точки . Как следует из общей теории, скорость точки – это вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки.

Скорость точки при координатном способе задания движения.Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, принятой за неподвижную, т.е. пусть заданы координаты точки как функции времени

, , .

Согласно выражению (9.8) имеем

.

Так как единичные векторы выбранной системы координат постоянны, то на основании формулы (9.11) получаем

.

На рис. показано разложение скорости на составляющие по осям координатной системы .

Таким образом, проекции скорости , , на координатные оси будут

, , ,

т.е. проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.

Так как производную по времени мы условились обозначать точкой сверху, то полученные формулы можно переписать в виде

, , . (9.12)

Модуль скорости определяется формулой

, (9.13) а направление скорости – направляющими косинусами

(9.14)

Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.

Задача 9.4.Движение точки задано уравнениями

, , .

Найти скорость точки.

Решение.В соответствии с выражениями (9.12) получим проекции скорости

, , .

Модуль скорости определяется формулой (9.13)

.

Направление скорости найдем, используя формулы (9.14)

Из этих соотношений видно, что точка движется равномерно , но направление скорости изменяется с течением времени.

Исследуем траекторию точки. Из первых двух уравнений движения найдем

.

Это – уравнение цилиндра радиуса , ось которого совпадает с осью .

Опустим теперь из точки на плоскость перпендикуляр и обозначим угол между осью и прямой через . Координаты точки будут

, .

Сравнивая эти соотношения с уравнениями движения, найдем

.

Таким образом, угол изменяется пропорционально времени. Из этого следует, что прямая равномерно вращается, а точка в это время равномерно перемещается по образующей . Следовательно, точка движется по винтовой линии. Уравнения линии в параметрической форме совпадают с уравнениями движения, а в координатной форме имеют вид

, .

Рассмотрим теперь движение, заданное в полярных координатах, т.е пусть даны как функции времени полярный радиус и угол , определяющие положение точки.

Введем в рассмотрение единичные векторы: , направленный по радиусу-вектору в сторону возрастания , и , повернутый относительно на угол в сторону возрастания угла . Единичные векторы и могут быть представлены через единичные векторы координатных осей:

,

.

В дальнейшем нам будут нужны выражения для производных по времени от единичных векторов , .

Дифференцируя по времени, получим

. (9.15) Аналогично

. (9.16)

Радиус вектор , определяющий положение точки, может быть представлен в виде . При движении точки меняются как модуль, так и направление радиуса-вектора , следовательно, и , и являются функциями времени. На основании равенства (9.11) имеем

.

Используя соотношение (9.15), будем иметь

.

Полученная формула дает разложение вектора скорости на две взаимно перпендикулярные составляющие: радиальную и поперечную .

Проекция скорости на радиальное и поперечное направления

и (9.17) называются соответственно радиальной ­­и поперечной скоростями.

Модуль скорости находится по формуле

. (9.18)

Формулу (9.18) можно получить, используя связь между декартовыми и полярными координатами,

, .

Продифференцировав эти соотношения по времени , и используя равенство (9.13), получим

.

Нахождение скорости при естественном способе задания движения.Пусть точка движется по какой-либо кривой. За промежуток времени точка переместится из положения в положение . Дуга , если движение точки происходит в сторону положительного отсчета дуги, и если, если движение происходит в противоположную сторону. На основании (9.11) имеем

.

Перепишем это равенство в виде

.

Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен по модулю единице, а предельное положение секущей совпадает с направлением касательной к кривой в точке ,то

,

где – единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги.

Действительно, если , то вектор направлен в сторону , а при вектор направлен в сторону, противоположную . В обоих случаях этот вектор, а следовательно, и его предел , направлены в сторону возрастания дуги (на рис. положительное направление отсчета дуги выбрано вправо от начала отсчета ).

Принимая во внимание, что

,

имеем

. (9.19)

Обозначая , получим

. (9.20) Из формулы (9.20) следует, что . Очевидно, что , если движение происходит в сторону положительного отсчета дуги, и , если движение происходит в противоположную сторону.

Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути

и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле

.