Нахождение ускорения при естественном способе задания движения.

Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть – единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо точке этой кривой. Возьмем теперь на кривой точку , близкую к точке , и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через . Параллельно перенеся вектор в точку , проведем плоскость через векторы и , приложенные в точке .

При стремлении точки к точке эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке . Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью.

Линия пересечения соприкасающейся плоскости и нормальной плоскости определяет главную нормаль к кривой в точке .

Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами I, II и III.

Линия пересечения спрямляющей плоскости и нормальной плоскости определяет бинормаль к кривой.

Таким образом, в каждой точке можно указать три взаимноперпенди-кулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.

Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор , направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами , , , образовывали правую систему координат. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , , являются единичными векторами осей естественного трехгранника.

Обозначим через величину угла между вектором , проведенным в точке , и вектором , проведенным в точке , близкой к точке . Этот угол называется углом смежности.

Кривизной кривой в точке называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги , т.е.

. (9.27)

Радиусом кривизны кривой в точке называется величина, обратная кривизне

. (9.28)

Заметим, что кривизна прямой равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса ; радиус кривизны равен радиусу окружности .

Если через точку кривой и две близкие к ней точки провести окружность, то при стремлении этих точек к в пределе получится окружность, которая называется кругом кривизны. Круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус круга равен радиусу кривизны кривой в точке . Центр круга кривизны лежит на главной нормали и называется центром кривизны.*

Вектор скорости согласно выражению (9.20) можно представить в виде

,

где – проекция скорости на направление . На основании формулы (9.21) имеем

. (9.29)

Определим величину и направление вектора .

Пусть в момент времени точка находится в положении на траектории, а в момент времени – в положении . Перенося вектор в точку , найдем приращение вектора за промежуток времени

.

Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории, а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги – в сторону выпуклости траектории.

Найдем производную вектора :

.

Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через точку и векторы и (плоскость МАВ). Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, так как при плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке .

Дифференцируя тождество по , получим

,

т.е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен ; следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль вектора . Из равнобедренного треугольника АМВ найдем

или, используя равенства (9.27) и (9.28), получим

.

Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь

.

Значит,

,

и, следовательно,

, (9.30) так как

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.

Составляющие ускорения по направлениям и соответственно равны

, .

Проекция ускорения на направление

(9.31)

называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль

(9.32)

называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.