Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Построение движения через задание скорости или ускорения.




Читайте также:
  1. B) это составная часть общественного воспроизводства, отражающая те же стадии (фазы) процесса воспроизводства, но только со стороны движения инвестиционного капитала;
  2. I задание. (Закончите предложение).
  3. I. средняя скорость; II. мгновенная скорость; III. вектор скорости, выраженный через проекции на оси; IV. величина (модуль) скорости.
  4. II. Построение карты гидроизогипс
  5. II. Построение карты гидроизогипс
  6. II. Построение продольного профиля по оси трассы
  7. III задание. (Закончите предложение).
  8. III задание. (Закончите предложения).
  9. III. Согласно ст. 3 Конституции РФ народ осуществляет власть непосредственно, через органы государственной власти и через органы местного самоуправления.
  10. IV. Законы динамики вращательного движения.

Соотношение (1) — это векторный способ задания движения, позволяющий определить положение точки в любой момент времени .

Соотношение (2) — это способ вычисления недостающих кинематических характеристик в этот момент (скорости и ускорения материальной точки) по заданному движению.

Однако движение может быть определено и в том случае, когда задана скорость или ускорение материальной точки.

Действительно, если в любой момент времени задана скорость , то имеем

. (3)

Справа стоит известная вектор-функция . Слева — вектор-функция , определяющая движение точки, является неизвестной.

На формулу (3) можем смотреть, как на уравнение для определения движения. Из него следует, что является первообразной для функции , а потому

= + = + . (4)

Здесь — некоторый постоянный вектор, а = — первообразная функция вектор-функции .

Соотношение (4) задает семейство движений, каждое из которых имеет в любой момент времени заданную скорость .

Чтобы из формулы (4) выделить конкретное движение, проходящее через заданную геометрическую точку с радиус-вектором при , надо положить в (4) слева и = . Тогда получим

= + ,

где — значение первообразной = в момент .

Выразив отсюда , получим

= + - .

Поскольку - = — это определенный интеграл от векторной функции , то можем записать

= = + . (5)

Формула (5) является векторным заданием движения через задание скорости как функции времени.

Пусть теперь известно ускорение в любой момент времени . Тогда движение будет связано с ним следующим соотношением:

= . (6)

Если учесть, что скорость связана с ускорением (по определению) соотношением

= , (7)

то из (7) мы можем определить скорость по известному вектору . Для этого воспользуемся формулой (5), в которой , , , заменим соответственно на , , , ; обозначает вектор скорости, которую имеет материальная точка в момент времени . Получим

= = + . (8)

Учитывая связь (3) скорости с движением , подставим найденную функцию в (5). Тогда найдем вектор-функцию , задающую такое движение материальной точки, которое имеет ускорение, совпадающее в каждый момент времени с заданным ускорением :

= = + + . (9)



На этом движении материальная точка в момент времени проходит через положение и имеет в нем скорость . Таким образом, для однозначного построения движения материальной точки по заданному ускорению требуется знать не только положение в момент , но и скорость .

Примечание.

Если известна скорость , то, как следует из сказанного, движение определяется из уравнения (3) посредством вычисления интеграла от вектора скорости. В уравнение (3) движение входит через свою производную по времени.

Равенство, в которое входят производные от неизвестной функции, зависящей от одного аргумента, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядком уравнения называют наивысший порядок производной от неизвестной функции, с которым эта функция входит в данное уравнение. Сама функция может входить или не входить в него.

Как видим, уравнение (3) является дифференциальным уравнением первого порядка относительно вектор-функции , а уравнение (7) — дифференциальным уравнением второго порядка.

Функция, дифференцируемая в количестве раз, совпадающем с порядком дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество относительно независимой переменной, называется решением данного дифференциального уравнения.



Согласно данному определению, вектор-функция , задаваемая формулами (5) и (9), является решением уравнения (3) и (7), соответственно.

Таким образом, если движение точки задается через скорость или ускорение, то оно строится как решение векторного обыкновенного дифференциального уравнения.

В таких случаях дифференциальное уравнение, решением которого является закон движения материальной точки, называется математической моделью ее движения.


Дата добавления: 2015-04-15; просмотров: 7; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.016 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты