Связь векторного и координатного способов.

Пусть движениеточки задается координатным способом. Тогда формулы (13) и (15) определяют вектор-функцию , которая является основой для векторного способа задания движения.

Пусть движениеточки задается векторным способом. Тогда из (13) и (15) можем получить координатный способ задания движения, если вычислим координаты вектор-функции . Если системой отсчета является система , то, умножая (13) скалярно на , , последовательно, получим

, , .

Здесь , , — координаты точки, вычисленные по ее заданному положению в любой момент времени . Как видно из этих выражений, геометрические координаты точки в любой момент времени равны ортогональным проекциям вектор-функции на оси системы отсчета в момент времени .

Аналогично, если система отсчета является аффинной , то, умножая (15) последовательно скалярно на векторы , , , получим = , , .

Отсюда

, (19)

где введено обозначение .

Замечание.

Легко показать, что , если система координат правая; , если эта система левая.

Аналогично (при умножении на ( ) и на ( )), получим

, (20)

. (21)

Таким образом находятся координаты точки в аффинной системе при известном векторе .

Примечание.

Выражения (20) и (21) легко можно записать, зная формулу (19). Обозначим последовательность индексов у переменных , в виде

1 —> 2 —> 3 —> 1 (22)

и последовательность индексов у ортов также в виде

1 —> 2 —> 3 —> 1. (23)

Тогда соотношение (20) получается из (19) заменой в равенстве (19) индекса «1» при на следующий за ним в последовательности (22) индекс «2», и заменой индексов «2» и «3» у ортов на следующие за ними в последовательности (23) индексы «3» и «1».

После записи выражения (20) соотношение (21) строится аналогичным образом из (20) по правилу замены индексов при и согласно схемам (22) и (23).

Если две или более формулы выводятся последовательно друг из друга заменой переменных и (или) индексов на их другие значения из заданных упорядоченных последовательностей, то говорят, что последовательность формул строится по правилу круговой перестановки заданных переменных и (или) индексов.

Таким образом, согласно данной формулировке можно сказать, что последовательность формул (19),(20),(21) строится круговой перестановкой переменных —> —> —>

и ортов —> —> —> ,

или, иначе, — круговой перестановкой индексов 1—>2—>3—>1 у переменных и ортов .