Описание координатного способа задания движения.
Зафиксируем в пространстве точку отсчета и систему отсчета. Если в качестве системы отсчета выбрана декартовая прямоугольная система координат, то, как отмечено во Введении, она будет обозначаться или , где , , — базис, а , , — координаты точек в ней.
Если в качестве системы отсчета принимается аффинная система координат, то будем обозначать ее или , где , , — базис, а — координаты точек. При выборе системы считается известной (задается) также матрица метрических коэффициентов , где = , .
Напомним определения из векторной алгебры.
Определение 1.
Координатами вектора в заданной системе отсчета называются коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам.
Из определения следует, что если обозначить , , — координаты вектора в декартовой системе , а — координаты этого же вектора в аффинной системе , то можем записать
= , = .
Определение 2.
Координаты радиус-вектора точки относительно точки отсчета в заданной системе отсчета называются координатами этой точки в указанной системе отсчета.
Согласно определению 2 с учетом принятых обозначений координат точки в системах отсчета и можем записать
= , (10)
. (11)
Если задать в каждый момент времени координаты , , точки в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций , , , то будем иметь
, , . (12)
Тогда, подставляя (12) в (10), получим
= = . (13)
Соотношение (13) позволяет определить положение точки в любой момент из промежутка времени, где заданы правые части равенств (12). Причем, поскольку функции , , дважды непрерывно дифференцируемы, то вектор-функция , связанная с ними равенством (13), будет также дважды непрерывно дифференцируема. А это значит, что (12) задают движение материальной точки.
Аналогично, задавая в каждый момент времени аффинные координаты точки в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций , будем иметь
, , . (14)
Подставляя (14) в (11), получим, что положение точки в любой момент времени может быть вычислено по формуле
, (15)
которая так же, как и (13), определяет движение точки .
Способ задания движения материальной точки по формуле (12) или (14) называется координатным.
Для этого способа, в отличие от векторного, существенным является выбор системы отсчета (выбор системы координат), в которой дается описание движения.
2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе задания движения.
По определению скорости точки имеем
, (16)
где — вектор-функция, задающая движение этой точки.
При координатном способе задания движения вектор-функция через координатные функции , , вычисляется по формуле (13) либо через координатные функции по формуле (15).
Поэтому из (13) и (15) будем иметь, соответственно,
= , .
Таким образом, подставляя в (16), получим следующие выражения для скорости :
– при задании движения в декартовых координатах , , это выражение примет вид
= ; (17)
– при задании движения в аффинных координатах , соответственно, будем иметь
. (18)
Обозначим , , — координаты вектора в системе отсчета , а — координаты вектора в аффинной системе . Тогда по определению координат вектора можем записать
= , .
Сопоставляя эти соотношения с (17),(18), видим, что в момент времени координаты скорости совпадают с производными от координат вектора в системе , если движение задается декартовыми координатами и с производными от координат вектора в системе , если движение задается аффинными координатами:
= , = , = ;
, , .
Геометрически координаты вектора скорости можем получить путем совмещения начала вектор-функции с точкой отсчета и проектирования конца вектора на соответствующие координатные оси.
Для вычисления ускорения точки действуем аналогично. Учитывая, что по определению ускорения точки имеем
= = ,
получим:
– при задании движения в декартовых координатах , , выполняются равенства
= = ;
– при задании движения в аффинных координатах эти равенства приобретают вид
.
Если обозначим , , — декартовые координаты вектора , а — его аффинные координаты, то связь , , со вторыми производными от заданных координатных функций , , , будет такова:
= , = , = ; .
Из полученных выражений для и легко выписываются формулы для вычисления модуля скорости и модуля ускорения, а также для направляющих косинусов этих векторов.
Для = и = будем иметь:
= = = ; = = = .
Для направляющих косинусов , , вектора скорости имеем:
, , .
Аналогично, для направляющих косинусов , , вектора ускорения : , , .
В аффинной системе координат формула для вычисления модуля скорости может быть получена из следующих соотношений:
= = ,
где введены обозначения
— вектор-столбец, составленный из производных от
заданных координатных функций , ;
— матрица метрических коэффициентов аффинной системы
координат;
символ обозначает операцию транспонирования.
Аналогично, для = получим = = = .
Здесь — вектор-столбец, составленный из вторых производных от заданных координатных функций , .
|