Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Описание координатного способа задания движения.




Читайте также:
  1. I. Анализ задания
  2. I. Задания для самостоятельной работы
  3. I. Задания для самостоятельной работы
  4. II часть контрольного задания
  5. II. Описание экспериментальной установки.
  6. II. Тестовые задания
  7. II. Тестовые задания
  8. III. Для обеспечения проверки исходного уровня знаний-умений решите 2 задания.
  9. III. Для обеспечения проверки исходного уровня знаний-умений решите 2 задания.
  10. III. Для обеспечения проверки исходного уровня знаний-умений решите 2 задания.

Зафиксируем в пространстве точку отсчета и систему отсчета. Если в качестве системы отсчета выбрана декартовая прямоугольная система координат, то, как отмечено во Введении, она будет обозначаться или , где , , — базис, а , , — координаты точек в ней.

Если в качестве системы отсчета принимается аффинная система координат, то будем обозначать ее или , где , , — базис, а — координаты точек. При выборе системы считается известной (задается) также матрица метрических коэффициентов , где = , .

Напомним определения из векторной алгебры.

Определение 1.

Координатами вектора в заданной системе отсчета называются коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам.

Из определения следует, что если обозначить , , — координаты вектора в декартовой системе , а — координаты этого же вектора в аффинной системе , то можем записать

= , = .

Определение 2.

Координаты радиус-вектора точки относительно точки отсчета в заданной системе отсчета называются координатами этой точки в указанной системе отсчета.

Согласно определению 2 с учетом принятых обозначений координат точки в системах отсчета и можем записать

= , (10)

. (11)

Если задать в каждый момент времени координаты , , точки в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций , , , то будем иметь

, , . (12)

Тогда, подставляя (12) в (10), получим

= = . (13)

Соотношение (13) позволяет определить положение точки в любой момент из промежутка времени, где заданы правые части равенств (12). Причем, поскольку функции , , дважды непрерывно дифференцируемы, то вектор-функция , связанная с ними равенством (13), будет также дважды непрерывно дифференцируема. А это значит, что (12) задают движение материальной точки.

Аналогично, задавая в каждый момент времени аффинные координаты точки в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций , будем иметь

, , . (14)

Подставляя (14) в (11), получим, что положение точки в любой момент времени может быть вычислено по формуле

, (15)

которая так же, как и (13), определяет движение точки .

Способ задания движения материальной точки по формуле (12) или (14) называется координатным.

Для этого способа, в отличие от векторного, существенным является выбор системы отсчета (выбор системы координат), в которой дается описание движения.



2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе
задания движения.

По определению скорости точки имеем

, (16)

где — вектор-функция, задающая движение этой точки.

При координатном способе задания движения вектор-функция через координатные функции , , вычисляется по формуле (13) либо через координатные функции по формуле (15).

Поэтому из (13) и (15) будем иметь, соответственно,

= , .

Таким образом, подставляя в (16), получим следующие выражения для скорости :

– при задании движения в декартовых координатах , , это выражение примет вид

= ; (17)

– при задании движения в аффинных координатах , соответственно, будем иметь

. (18)

Обозначим , , — координаты вектора в системе отсчета , а — координаты вектора в аффинной системе . Тогда по определению координат вектора можем записать

= , .

Сопоставляя эти соотношения с (17),(18), видим, что в момент времени координаты скорости совпадают с производными от координат вектора в системе , если движение задается декартовыми координатами и с производными от координат вектора в системе , если движение задается аффинными координатами:



= , = , = ;

, , .

Геометрически координаты вектора скорости можем получить путем совмещения начала вектор-функции с точкой отсчета и проектирования конца вектора на соответствующие координатные оси.

Для вычисления ускорения точки действуем аналогично. Учитывая, что по определению ускорения точки имеем

= = ,

получим:

– при задании движения в декартовых координатах , , выполняются равенства

= = ;

– при задании движения в аффинных координатах эти равенства приобретают вид

.

Если обозначим , , — декартовые координаты вектора , а — его аффинные координаты, то связь , , со вторыми производными от заданных координатных функций , , , будет такова:

= , = , = ; .

Из полученных выражений для и легко выписываются формулы для вычисления модуля скорости и модуля ускорения, а также для направляющих косинусов этих векторов.

Для = и = будем иметь:

= = = ; = = = .

Для направляющих косинусов , , вектора скорости имеем:

, , .

Аналогично, для направляющих косинусов , , вектора ускорения : , , .

В аффинной системе координат формула для вычисления модуля скорости может быть получена из следующих соотношений:

= = ,

где введены обозначения

— вектор-столбец, составленный из производных от

заданных координатных функций , ;

— матрица метрических коэффициентов аффинной системы

координат;

символ обозначает операцию транспонирования.

Аналогично, для = получим = = = .



Здесь — вектор-столбец, составленный из вторых производных от заданных координатных функций , .


Дата добавления: 2015-04-15; просмотров: 11; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.016 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты